Drei Vektoren à 4 Zeilen linear abhängig oder unabhängig?

Question

Wie kann ich die lineare Abhängigkeit dieser Vektoren prüfen?

Die Determinate kann ich da nicht bestimmen. Muss ich das mit Gauß dran?

V1=

4

0

2

0

 

V2=

1

2

0

0

 

V3=

3

2

0

3

 

Danke für eure Antworten.

Answer 1

Also ich würde einfach mal die Vektoren in eine Matrix schreiben und ein paar Umformungen machen:

Jetzt sieht man schon das der 1.Spaltenvektor der einzige Vektor ist der einen Eintrag in der 3. Zeile hat. Daher kann er durch keinen der anderen beiden erzeugt werden. Somit ist dieser linear unabhängig.

Analoges gilt für den 2. Spaltenvektor in der 2.Zeile und für den 2. Spaltenvektor in der 4.Zeile.

 

Somit sind alle 3 Vektoren linear unabhängig.

 

lg, ich hoffe es hilft.

Answer 2

"Definition":

Die Vektoren v₁, v₂, ..., v_i, ... ,v_n sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:

a₁ * v₁ + a₂ * v₂ + ... + a_i * v_i + ... + a_n * v_n = 0 ⇒ a_i = 0 für alle i

also genau dann, wenn sich der Nullvektor nur durch eine solche Linearkombination aller Vektoren darstellen lässt, in der alle Koeffizienten a_i den Wert Null haben.

 

Stelle also aus "deinen" Vektoren v1, v2 und v3 ein lineares Gleichungssystem auf und löse es:

a₁ * 4 + a₂ * 1 + a₃ * 3 = 0

a₁ * 0 + a₂ * 2 + a₃ * 2 = 0

a₁ * 2 + a₂ * 0 + a₃ * 0 = 0

a₁ * 0 + a₂ * 0 + a₃ * 3 = 0

Aus der vorletzten Zeile folgt a₁ = 0, aus der letzten Zeile folgt a₃ = 0 und mit a₃ = 0 folgt aus der zweiten Zeile a₂ = 0.

Somit folgt also aus dem Gleichungssystem a_i = 0 für alle i . Damit ist die oben angegebene Definition erfüllt und daher sind die Vektoren v₁, v₂, und v₃ linear unabhängig.