quadratische Parabeln durch die Punkte A,B und C

Question

Kann mir einer die Vorgehensweise erklären und dazu als Beispiel die a) erledigen. Den Rest der Aufgaben mache ich dann.

Answer 1

Hallo Mathematiker, 

eine quadratische Parabel hat die allgemeine Form: 

f(x) = ax² + bx + c

Du hast also, wenn Du die Funktion nicht kennst, die drei Unbekannten a, b und c und brauchst deshalb auch 3 Informationen. 

Diese sind Dir durch die 3 Punkte gegeben, die Du in die Funktion einsetzt: 

a)

f(2) = 5 = 4a + 2b + c

f(4) = 4 = 16a + 4b + c

f(6) = 1 = 36a + 6b + c

Es ergeben sich die Werte für 

a = -0,25

b = 1

c = 4

Die gesuchte Funktion heißt also

-0,25x² + x + 4

Besten Gruß und viel Erfolg für die anderen Aufgaben :-)

Comments

Sehr gern ...

und danke für den Stern :-)

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wie kommst du auf diese Werte:

a = -0,25

b = 1

c = 4

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Wir hatten 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten: 

I. 4a + 2b + c = 5

II. 16a + 4b + c = 4

III. 36a + 6b + c = 1

Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren manipuliert man die Gleichungen so, dass immer eine Unbekannte eliminiert wird. 

 

16a + 8b + 4c = 20 | I. mit 4 multipliziert

16a + 4b + c = 4 | Jetzt ziehen wir diese II. von der I. ab

           4b + 3c = 16

 

36a + 18b + 9c = 45 | I. mit 9 multipliziert

36a +   6b + c = 1 | Wir ziehen diese III. von der I. ab

            12b + 8c = 44

 

Nun arbeiten wir mit diesen Gleichungen weiter:  

12b + 9c = 48 | Die erste rote Gleichung mit 3 multipliziert

12b + 8c = 44 | Diese Gleichung ziehen wir wieder ab

             c = 4

 

Jetzt setzen wir dieses gefundene c zum Beispiel in die erste rote Gleichung ein: 

4b + 12 = 16

4b = 4

b = 1

 

Und diese Werte schließlich in eine der Gleichungen I., II. oder III eingesetzt liefert uns das a: 

I. 4a + 2 + 4 = 5

4a = -1

a = -0,25

 

Ansonsten kann jeder gute Taschenrechner und jede gute Mathe-App solche linearen Gleichungssysteme (linear equations) lösen :-)

 

Besten Gruß