Kleine Fragen zur Kreisgleichung: Kreis mit M(4/-1), der die Gerade g:X = (4/-6) + t(2/-1) berührt!

Question

 

1.) Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M(4/-1), der die Gerade g:X = (4/-6) + t(2/-1) berührt!

Wie lässt sich hier der Radius finden?

2.) Geben Sie eine Gleichung des Kreises an, der durch die Punkte A und B geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g liegt! A(4/0), B(0/-6); g: X = (-3/-1) + t.(-2/1)

( Lösung: [X – (5/-5)]2 = 26)

 

A)Ermittle eine Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(6/6) und B(0/-4) geht und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: x = -2 liegt!

B) Stelle Gleichungen der Tangenten an diesen Kreis in den Punkten A und B auf!

C) Wie groß sind die Winkel, die diese Tangenten bilden?

D) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Punkten A, B und vomSchnittpunkt der beiden Tangenten gebildet wird!

 

Bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

So klein sind diese Fragen nicht. Ich beantworte hier mal die Frage 1 ausführlich.

1.) Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M(4/-1), der die Gerade g:X = (4/-6) + t.(2/-1) berührt!

Wie lässt sich hier der Radius finden?

1. Fälle von M aus das Lot auf g.

Senkrecht auf (2/-1) ist (1,2)

Lot: X = (4, -1) + s(1,2)

Beachte, dass hier ein anderer Parameter gewählt werden muss als für g, da die beiden im Schnittpunkt der beiden Geraden nicht unbedingt gleich sein müssen.

2. Lot und g schneiden (gleichsetzen)

(4,-6) + t(2,-1) = (4, -1) + s(1,2)

Komponentenweise:

I.      4 + 2t = 4 + s          ---------> s = 2t

II.      -6 -t = -1 + 2s

s in II. einsetzen

-6-t = -1 + 4t

-5 = 5t

-1 = t

t einsetzen in g: X = (4,-1) - (1,2) = (3, -3)

Berührungspunkt B(3,-3)

2. Radius r = |MB| 

M(4,-1), MB = (-1, -2), r = √(1 + 4) = √5

3. Kreisgleichung

(x-4)^2 + (y+1)^2 = 5

Answer 2

Für die Zwecke der Computergrafik habe ich eine eigene  Schnittpunktsformel entwickelt, die ich den " komplexen Sinussatz " ( KS ) nenne. Sinn und Zweck der ganzen Übung. Einen geschlossenen Ausdruck für den Schnittpunkt anzugeben, den du auswändig lernen kannst wie die Mitternachtsformel; also dieses Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten, das wollen wir uns sparen ( Die ursprüngliche Idee war sogar noch bissele anders; aber das gehört nicht hierher. )

Gegeben die beiden Geraden

g1;2 :  |R ===> |C     ( 1a )

k1;2  ===> s1;2 + k1;2  t1:2   ( 1b )

Im Folgenden fassen wir also alle Punkte der Ebene als ===> komplexe Koordinaten auf. Dann gibt der KS den Wert des Parameters k1 im Schnittpunkt an:

s := s2 - s1     ( 2a )

k1 = imag ( s / t2 ) : imag ( t1 / t2 )   ( 2b )

Vielleicht wird es anschaulicher, wenn du dir das Dreieck aufmalst aus den Vektoren s , t1 und t2 .

Spielen wir das Ganze doch mal durch:

M =  s1 = 4 - i       ( 3a )  ;  Kreismittelpunkt

s2 = 4 - 6 i    ( 3b )  ; Startpunkt von g

s = s2 - s1 = - 5 i   ( 3c )

t2 = 2 - i    ( 4a ) ; Richtungsvektor von g

s / t2 =  - 5 i /  ( 2 - i )  = - i ( 2 + i )  = 1 - 2 i    ( 4b )

imag ( s / t2 ) =  ( - 2 )    ( 4c )

Wozu betreiben wir das Ganze? g1 ist das Lot von M = s1 auf g2 , da ja g2 Tangente an den Kreis ist.  Gesucht der Schnittpunkt nach dem KS .

Senkrecht stehen wird immer mittels der imaginären Einheit i ausgedrückt; wir fahren fort in der Anwendung des KS

t1 = i t2   = i ( 2 - i )  = 1 + 2 i   ( 5a )

t1 / t2 = i t2 / t2 = i   ( 5b )

imag ( t1 / t2 ) = 1   ( 5c )

k1  =  ( 4c ) / ( 5c ) =  ( - 2 )   ( 6a )

und für den Schnittpunkt s0

s0 = s1 + k1 t1 = 4 - i  - 2  ( 1 + 2 i )  = 2 - 5 i   ( 6b )

mit s1 aus ( 3a ) ; t aus  ( 5a )

Dabei folgt insbesondere der gesuchte Radius zu  R = | k1 t1 | = 2 | 2 - i |  = 2 sqr ( 5 )

Aufg 2) finde ich beinahe noch schicker; hier setze ich g1 = g

s1 = - ( 3 + i )    ( 7a )

Und was ist s2? Die Mittelpunkte von A und B liegen auf der Mittelsenkrechten ( MSR ) von A und B :

s2 = 1/2 ( A + B ) = 2 - 3 i    ( 7b )

s = s2 - s1 = 5 - 2 i    ( 7c )

Der Vektor von A nach B ist

v =  2 + 3 i     ( 8a )

Einen Richtungsvektor darf man umnormieren; das wisst ihr.

t2 = i v = 2 i - 3    ( 8b )

s / t2 = ( 5 - 2 i ) / ( 2 i - 3 ) = ( 2 i - 5 ) ( 3 + 2 i )    ( 8c )

Den ( reellen ) Betragsnenner lassen wir weg; der kürzt sich eh raus.

imag ( s / t2 ) = 2 * 3 - 5 * 2   = ( - 4 )    ( 8d )

t1 wird der Richtungsvektor von g

t1 = i - 2   ( 9a )

t1 / t2 = ( i - 2 ) /  ( 2 i - 3 ) = ( 2 - i ) ( 3 + 2 i )    ( 9a )

imag ( t1 / t2 ) = 2 * 2 - 1 * 3 = 1    ( 9b )

k1 = ( 8d ) / ( 9b ) = ( - 4 )   ( 9c )

s0 = s1 + k1 t1 = - ( 3 + i )  - 4 ( i - 2 ) = 5 ( 1 - i )   ( 9d )

Dein Wert stimmt; ich kann dir nur raten. Zwar habe ich als " Aktiver " solche Aufgaben nur maschinell bearbeitet ( und dafür 500 DM Gehaltserhöhung bekommen; es lohnt sich also. )

Aber ich glaube du spürst selst, was für ein akkurates Schriftbild dir dieses Rechenschema aufzwingt. Ich mach jetzt noch die Probe auf den Radius

A - s0 = 4 + 5 ( i - 5 ) = 5 i - 1 ; | A - s0 | = sqr ( 26 )   ( 10a )

B - s0 = - 6 i  + 5 ( i - 5 ) =  i ( A - s0 )   ( 10b ) perfektemang

Jetzt war die Kreisgleichung gefragt

( x - x0 ) ² + ( y - y0 ) ²  = ( x - 5 ) ²  +  ( y + 5 ) ² = 26     ( 11 )

Die Tangenten wiederum setzen Kenntnisse in der Technik des ===> impliziten Differenzierens voraus; ableiten von ( 11 ) nach der Kettenregel

x - 5 + y ' ( y + 5 ) = 0   ( 12a )

Jetzt Punkt A einsetzen in ( 12a )

4 - 5 + ( 0 + 5 ) y ' = 0 ===> f ' ( x ) = 1/5   (12b )

Ganz allgemein ist die Tangente g ( x ; x0 ) der lineare Anteil der ===> Taylorentwicklung in x0

g ( x ; x0 ) := f ( x0 ) + ( x - x0 ) f ' ( x0 )   ( 13a )

Stimmt ja auch; denn

g ( x0 ; x0 ) = f ( x0 )    ( 13b )

Wegen ( 12b )

g ( x ; 4 ) = 1/5 ( x - 4 ) ===> x - 5 y = 4   ( 13c )