Homogenes lineares AWP, wie gehe ich an eine solche Aufgabe?

Question

 

Wie gehe ich an eine solche Aufgabe? Kann jemand den Start vorrechnen? Wüsste nicht wie ich starten soll. Danke

Answer 1

Ansatz:

x(t)= e^{λ t}

x '(t) =

x ''(t)=

x ''' (t)=

--->Einsetzen in die DGL

-------->Charakteristische Gleichung:

λ^3 +4 λ^2 +5 λ +2=0

(λ +1)^2 (λ+2)=0

x₁(t)= C₁ e^{-2t}

x₂(t)= C₂ e^{-t}

x₃(t)= C₃ *t  e^{-t}

x(t)= x₁ +x₂ +x₃

_{dann noch die AWB einsetzen}

_{Endlösung: x(t)= e^{-2t} ( 2 e^t *t +1)}

Comments

Wofür steht das "C"?

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C ist eine Konstante

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Und wo kommt das *t her bei x₃(t)= C₃ *t  e^-t  ?

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Hier findest Du wichtige Ansätze :

- 1 ist doppelte reelle Nullstelle . also gilt auf der 2. Seite in der 1 .Tabelle 

der Fall eine doppellte reelle Nullstelle.

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

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Okay danke. Kannst du mir noch erklären, wie genau ich die AWB in x(t) einsetze? Bei mir kommt vorher-nachher das gleiche Ergebnis raus und das macht mich stutzig.

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Du bildest von der Lösung noch die 1. und 2. Ableitung:

Bitte nachrechnen:

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C₁=1

C₂=0

C₃=2

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Wie bestimmt man

x '(t) =

x ''(t)=

x ''' (t)=

?

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das geht dann so:

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Gilt dabei C∈ℝ ?

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ich habe diese doch berechnet:

C₁=1

C₂=0

C₃=2