Lineares Homogenes AWP Matrix

Question

 

ich verstehe die folgende Lösung nicht so ganz...

kann mir bitte jemand erklären wie man auf die markierte Matrix (2.tes Bild) kommt?

Comments

Bitte Text auch als Text eingeben (inkl. die Gleichungen!) https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Vermutlich kommt die Matrix A von:
z(t) = ((u(t), v(t), w(t))
z'(t)=((u'(t), v'(t), w'(t))

 

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ja das ist mir schon klar,

ich meine aber die markierte Matrix auf dem unteren Bild.

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Alternativ setze \(C=t\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=tI_2+tN\) und beachte, dass \(N^2=0\) ist.

Answer 1

Hi,
es gilt \( C^n = \begin{pmatrix}  1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) und weiter
$$ e^{t C } = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n \begin{pmatrix}  1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }{n!} = \begin{pmatrix}  \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} & \sum_{n=0}^\infty \frac{n \cdot t^n}{n!} \\ 0 & \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \end{pmatrix} $$
Weiter gilt
$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{n \cdot t^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot t^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1) \cdot t^{n+1}}{(n+1)!} = t \sum_{n=0}^\infty \frac{ t^n}{n!}  $$
Also folgt
$$ e^{t C } = \begin{pmatrix}  \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} & t \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \\ 0 & \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  e^t & t e^t \\ 0 & e^t \end{pmatrix} $$

Comments

wie kriegt man raus das c^n, so gilt wie du das in der ersten Zeile geschrieben hast.

Den in der Klausur ist ja nicht so viel zeit für Rechnerei :D

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Multipliziere das mal aus, z.B. für n = 3 und dann n = 4, dann siehst Du es.