Vektorräume. Teilmenge linear unabhängig beweisen

Question

Hallo;)

Meine Aufgabe bei der ich Hilfe brauche lautet :

Sei V ein K -Vektorraum. Beweisen Sie:

(a) Eine Teilmenge {v1, . . . , vn} von V ist genau dann linear unabhängig, wenn sich jedes Element aus span({v1,...,vn})eindeutig als Linearkombination in den Vektoren v1,...,vn darstellen lässt.

(b) Eine maximal linear unabhängige Teilmenge eines Vektorraums V ist eine Basis von V . Hierbei heißt eine Teilmenge M von V maximal linear unabhängig, falls sie linear unabhängig ist und für jeden Vektor v aus V \   M die Menge M′ := M ∪ {v}, welche aus M durch Hinzufügen von v entsteht, linear abhängig ist.

Ich hoffe auf eure Unterstützung und danke im Voraus für die Hilfe !:)

Answer 1

a) Sei w = ∑_i=1..n a_iv_i = ∑_i=1..n b_iv_i ∈ Span({v₁ ... v_n}). Dann ist ∑_i=1..n (a_i - b_i)v_i = 0.

Nun ist {v₁ ... v_n} linear unabhängig ⇔ (a_i - b_i) = 0 ∀ i=1...n ⇔ a_i = b_i ∀ i=1...n.

b) Sei v ∉ {v₁ ... v_n} und av + ∑_i=1..n a_iv_i = 0 mit a≠0 (a existiert, da nach Voraussetzung {v, v₁ ... v_n} linear abhängig und {v₁ ... v_n} linear unabhängig ist). Dann ist v = 1/a·∑_i=1..n a_iv_i.