Zeigen Sie, dass für q € R mit 0 q < 1 die Reihe Summenzeichen ((k+1)(k+2)q^k konvergiert. Wert?

Question

Zeigen Sie, dass für q ist element von R mit 0 kleiner-gleich q<1 die Reihe

konvergiert, und berechnen Sie ihren Wert

Answer 1

Quotientenkriterium anwenden
|a_k+1 / a_k| =
((k+2)(k+3)) / ((k+1)(k+2)) * |q^{k+1}/q^k| = (k+3) / (k+2) * |q| =
(1 + 3/k) / (1 + 2/k) * |q|

lim_k→∞ |a_k+1 / a_k| =  |q| Konvergent für alle |q| < 1

Die Reihe ∑(k+1)(k+2)q^k hat die Reihenglieder 2 + 6q + 12q^2 + 20q^3 + 30q^4 + ... +
Das ist die zweite Ableitung der Reihe ∑q^k = 1/(1-q)
 
1/(1-q) = 1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + ...
(1/(1-q)) ' = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + 5q^4 + 6q^5 + ...
(1/(1-q)) '' = 2 + 6q + 12q^2 + 20q^2 + 30q^4 + ...

Der Wert ist demnach (1/(1-q)) '' = 2/(1-q)^3 für alle |q| < 1

Answer 2

Mit \( (k+1)(k+2) = k^2+3k+2 \) und

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe "Herleitung der Varianten" kann man die Konvergenz und den Grenzwert herleiten und bekommt als Grenzwert

$$ \sum_{k=0}^\infty(k+1)(k+2)q^k = \frac{2}{(1-q)^3} $$