Beweisen, dass f genau dann irreduzibel ist, wenn f keine Nullstelle in K besitzt.

Question

mit dieser Aufgabe komm ich nicht wirklich zurecht.

1) Sei K ein Körper und f ∈K [X] mit grad (f) = 2 oder grad (f) = 3.

Beweisen Sie, dass f genau dann irreduzibel in K [X] ist, wenn f keine Nullstelle in K besitzt.

2) Geben Sie Konkret ein Polynom f ∈ ℝ[X] vom Grad 4 an, das zwar keine Nullstelle in ℝ besitzt, aber dennoch nicht irreduzibel in ℝ[X] ist.

bei 2) sollte (x2+1)² richtig sein , aber weiß nicht was ich als Erklärung schreiben soll! 

kann jemand mir ausführlich erklären?

Comments

1 ) “⇒” Besitzt f eine Nullstelle a ∈ K, so spaltet a den Linearfaktor X − a ab. Wegen grad(f) ≥ 2 ist dann X − a ein nichttrivialer Teiler von f, d.h. f ist nicht irreduzibel.

 “⇐” Besitzt f keine Nullstelle in K, so hat f keinen Teiler vom Grade 1 aus K[X]. Wäre f reduzibel, so müsste aber f mindestens einen Teiler vom Grade 1 haben, da f den Grad 2 oder 3 hat.

ist das so richtig ? 

Answer 1

bei 2) sollte (x²+1)² richtig sein , aber weiß nicht was ich als Erklärung schreiben soll! 

Vielleicht so:  Hat keine Nullstelle, da 

(x²+1)²  = 0 

<=>  x²+1 = 0 

<=>  x² = -1    was in ℝ keine Lösung hat.

Ist nicht irreduzibel, weil 

(x²+1)²      =(x²+1)  *   (x²+1)   eine Zerlegung in zwei Faktoren ist.