0 Daumen
2,3k Aufrufe

Ich soll die Konvergenz untersuchen von: ∑(-1)k(√(k+1)-√k)

Das Lebnizkriterium besagt ja, dass ak ( in unserem Fall: ak=(sqrt(k+1) - √k) monoton fallend ist mit ak -> 0, damit die alternierende Reihe konvergiert.

lim (ak) ergibt nach meinen Berechnungen 0, somit ist die Eigenschaft ak -> 0 erfüllt. ✓

Weiterhin gilt für monoton fallend: ak ≥ ak+1

Nach meinen Berechnungen komme ich auf: √1 ≥ √3, was ja ein Widerspruch ist. 

Habe ich etwas falsch gemacht? Divergiert somit die Reihe?


Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo tammi_ ! :-)

Nach meinen Berechnungen komme ich auf::√1 ≥ √3

Das kann ich leider nicht ohne deine Rechnung zu sehen nachvollziehen.

Die ersten Folgenglieder der Folge (ak) = √(k+1) - √k 

a0 = 1, a1 = 0,4, a2 = 0,3 werden immer kleiner, die Folge scheint monoton fallend zu sein.


ak = (*) 1 /  (√(k) + √(k+1))
ak+1 = 1 / (√(k+1) + √(k+2))

ak / ak+1 > 1 ⇔ ak > ak+1


(*)
√(k+1) - √k = (√(k+1) - √k) (√(k) + √(k+1))  / (√(k) + √(k+1)) = 1 /  (√(k) + √(k+1))

Grüße

Avatar von 11 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community