bitte um Hilfe bei:
Voraussetzung:
Seien n ∈ N und G1,...,Gn Gruppen, jeweils mit Verknüpfung · . Sei G (geschwungenes G) das externe direkte Produkt von G1,...,Gn mit Verknüpfung ◦.
Aufgabe:
Finden Sie für jedes i ∈ {1,...,n} einen Gruppenisomorphismus αi von Gi auf eine geeignete Untergruppe von G(geschwungen G).
Meine Idee ist die folgende:
Ich behaupte das αi : Gi→Hi, (Hi :=(1G1,...,hi, .... ,1Gn)mit hi Element Hi ; Hi eine Untergruppe von geschwungen G) für jedes i ∈ {1,...,n} mit giαi=(1G1,...,hi, .... ,1Gn) einen Gruppenisomorphismus ergibt.
Zeige als erstes die Homomorphieeigenschaft:
Seien ai, bi ∈ Gi. Dann ist (a•b)αi=(1G1,...,ai•bi, .... ,1Gn) =(1G1,...,ai, ... ,1Gn)(1G1,...,bi, ... ,1Gn)= aαi•bαi . Damit müsste αi ein Gruppenhomomorphismus sein.
Zeige nun Injektivität: Seien a, b ∈ Gi so, dass aiαi=biαi. Dann folgt daraus
(1G1,...,ai, ... ,1Gn) = (1G1,...,bi, ... ,1Gn). Es ist 1G1=1G1,..., 1Gn=1Gn und auch ai=bi.
Surjektivität: Es ist (1G1,...,1Gi-1,gi,1Gi+1 ... ,1Gn) mit gi ∈Gi ein mögliches Urbild von Gi.
Meine Fragen wären ob das so alles stimmt und müsste ich nachweisen das Hi eine Untergruppe von geschwungen G ist? Das man einen Gruppenisomorphismus αi für ein beliebiges i ∈ {1,...,n} in eine Untergruppe von geschwungen G finden soll bringt mich durcheinander. Vorallem ist mir nicht genau klar ob ich mich bei der Untergruppe von geschwungen G dann in einer Untergruppe befinde, die aus Gruppen besteht , oder ob das dann nur Elemente sind...
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
