lim sup und lim inf bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie lim sup_n→∞ b_n und lim inf_n→∞ b_n für bn := (n sin( π/2 +nπ))/(n−cos(nπ)), n ∈ N.

\( b_{n}:=\frac{n \sin \left(\frac{\pi}{2}+n \pi\right)}{n-\cos (n \pi)} \)

Comments

Schau Dir die Graphen von Sinus und Kosinus an. Dann wird es Dir sicher moeglich sein, für \(\sin(\pi/2+n\pi)\) und \(\cos n\pi\) einfachere Formeln anzugeben.

Answer 1

mein Lösungsvorschlag lautet:

Nebenbemerkungen:

Die Nummern dienen dazu, wann ich diese angewendet hab:)

1. sin(π/2 + nπ) = cos(n*π) :)

2. (n-cos(n*π)) * ((n+ cos(n*π)) = n^2-cos(n*π) 

Erweitere mit 1

! Benutze gleich Anmerkung 1

(n*cos(nπ) / n-cos(n*π)) * ((n+ cos(n*π)) / (n + cos(n*π)) 

Verwendung von 2:

= ((n*cos(nπ)) *(n+ cos(n*π)))/(n^2-cos(nπ)) = (n^2 cos(nπ) + n* cos^2(nπ))/(n^2-cos(nπ))

Klammere n^2 aus:

=n^2 *( cos(nπ) + (cos^2(nπ)/n))/(n^2(1-(cos(nπ)/n^2)) 

=( cos(nπ) + (cos^2(nπ)/n))/(n^2(1-(cos(nπ)/n^2))

___________________________________________________________________________________

lim sup n--> unendlich (cos(nπ) + (cos^2(nπ)/n))/(1-(cos(nπ)/n^2)) =1

Weil cos(nπ) maximal 1 wird.

lim inf n--> unendlich ( cos(nπ) + (cos^2(nπ)/n))/(n^2(1-(cos(nπ)/n^2)) = -1/1 = -1

Weil cos(nπ) den Wert -1 annimmt.

Hoffe, dass hat dir weitergeholfen:)

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Bist du dir sicher, dass die beiden Werte richtig sind?