Konvergenz und absolute konvergenz.

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe.

Prüfen Sie die Reihe   auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

Answer 1

Konvergenz    ja, wegen Leibnizkriterium

und absolute Konvergenz : nein, da 

| a_k+1 / a_k| = ((k)/(k+1))^2  *  e  geht für k gegen unendlich gegen e  >  1.

Comments

Lebnizkriterium besagt, dass eine Reihe konvergiert, wenn sie Nullfolge und monoton fallend ist. 

Monoton fallend wäre: a_n≥ a_n+1

Ich komme aber nicht auf diese Ungleichung bzw. bekomme nicht die Aussage der Ungleichung hin durch Umformungen. Wie wäre da der Ansatz? 

k²/e^k  ≥ (k+1)²/e^k+1

^...

^?

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Vielleicht laesst Du das mit dem Leibniz-Kriterium einfach mal weg und findest dafuer den Fehler in der Antwort bei der Anwendung des Quotienten-Kriteriums. Das ergibt ebenfalls eine vollstaendige Lösung der Aufgabe.

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Laut Quotientenkriterium konvergiert diese Reihe. Mit dem Kriterium finde ich aber nicht heraus, ob sie auch absolut konvergiert. Dazu im zweiten Schritt einfach das Majorantenkriterium anwenden? Laut diesem konvergiert die Reihe dann ja nicht absolut. 

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Fakten:

- Das Quotienkriterium ist ein Kriterium für absolute Konvergenz.

- Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz.

Gehoert zum Minimum dessen, was man einfach wissen muss.

Nachtrag:

- Das Majorantenkriterium ist ebenfalls ein Kriterium für absolute Konvergenz.

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Und welches Kriterium benutzt man hierfür nun? Laut mathef konvergiert die Reihe nicht absolut und laut Q.Kriterium konvergiert sie absolut. Zwei widersprüchliche Aussagen. Was ist nun richtig? 

Das Leibnizkriterium wendet man ja genau bei solchen Aufgaben mit (-1)^k an und das liegt hier ja vor...

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Oh ha, ich hatte mich da wohl vertan, müsste doch wohl heißen
| a_k+1 / a_k| = ((k+1)/(k))2  *  1/e 

Und das hat für k gegen unendlich den GW  1/e < 1 , also sind von

einem gewissen k an alle Quotienten kleiner als z.B  (1+1/e) / 2 < 1 .

Und die Reihe konvergiert doch absolut und damit konvergiert sie

auch so.

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Verwende die Fakten und rechne selber. Quotientenkriterium oder Majorantenkriterium liefert die absolute Konvergenz der Reihe. Weitere Kriterien sind ueberfluessig. Insbesondere brauchst Du keinen Leibniz mehr. Der ist auch generell nicht automatisch zu bemuehen, bloss weil die Reihe alterniert.

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Wäre es denn falsch, wenn man das Leibnizkriterium für diese Aufgabe nicht anwenden würde? Über das Quotientenkriterium fände ich es persönlich bequemer und schneller. 

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Finde ich auch sinnvoll. War bei meinem ersten Versuch anders, weil ich

halt dachte sie konvergiert nicht absolut. Aber das war ja eben falsch.

Answer 2

\(\exp k>k^4/24\) für alle \(k\in\mathbb{N}\) (folgt aus der Exponentialreihe). Dann das Majorantenkriterium verwenden.