In jedem Ideal M gilt:
Wenn x,y ∈ M, dann auch ihre Summe x+y ∈ M.
Wenn also ein Ideal M sowohl A als auch B enthält,
dann auch alle Summen von Elementen aus A und B,
also ist A+B in jedem Ideal enthalten, das sowohl A
als auch B enthält.
Bleibt zu zeigen A+B enthält sowohl A als auch B
und ist selbst ein Ideal. Da sowohl A als auch B die
Null enthält, sind alle Elemente 0+b und a+0 in
A+B enthalten, also sowohl A als auch B.
A+B ist ein Ideal: Dazu sind die drei Eigenschaften eines
Ideals zu zeigen:
1. 0 ∈ A+B ist klar, da 0 = 0+0 und sowohl A als auch B
enthalten die 0.
2. Für je zwei Elemente x und y aus A+B liegt auch
x - y in A+B. Das gilt, weil wegen
x ∈ A+B gibt es a∈A und b∈ B mit x = a+b und
y ∈ A+B gibt es c∈A und d∈ B mit y = c+d, also gilt
x - y = (a+b) - (c+d) = (a-c) + (b-d) und die erste Klammer
ist in A, weil a und c aus A sind und A ein Ideal ist und
entsprechend die 2. Klammer in B also x-y
aus A+B.
3. Für jedes r ∈ R und x aus dem ideal ist auch r*x aus
dem Ideal.
Sei also r ∈ R und x ∈ A+B also etwa x = a+b
dann gilt r*(a+b) = r*a + r*b und der erste Summand ist
aus A und der zweite aus B, da u´A und B Ideale sind,
also ist r*(a+b) = r*a + r*b die Summe eines Elementes von
A mit einem von B und deshalb auch in A+B.
q.e.d.
