Mit Differentialquotient Ableitung von (3√f(x)) herleiten

Question

(3√f(x))'=1/3*f(x)'/3√f(x)^2
Leiten Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung her.(Ohne Kettenregel)

kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank

Comments

Benutzt ihr beim Differentialquotienten die h-Methode? Oder wie genau habt ihr den geschrieben?

Answer 1

Beginne mit g(x) = 3√f(x)

Dann folgen die Definitionen mit h--> 0 unter den lim

(Differentialquotient von g(x)) : = lim  (g(x+h) - g(x))/h )

(Differentialquotient von f(x)) : = lim  (f(x+h) - f(x))/h      )    

 

(Differentialquotient von g(x)) = lim  (3√f(x+h) - 3√f(x))/h

= 3  lim  (√f(x+h) - √f(x))/h

                  |erweitern mit  (√f(x+h) +√f(x))          3. Binom

= 3 lim (f(x+h)-f(x))/ (h√(f(x+h) + √f(x)))

 

= 3 lim (f(x+h)-f(x))/ (h) *1/(√(f(x+h) + √f(x)))           |h---> 0

= 3 f '(x) * 1/ (2√f(x))

= 3/2 f ' (x) / √f(x)

Kontrolle mit Kettenregel:

g(x) = 3√f(x)

g(x) = 3 (f(x))^1/2

g'(x) = 3/2 f(x)^{-0.5} * f '(x) = 3/2 f'(x)/√f(x)       qed.

 

Deine Vorgabe:

1/3*f(x)'/3√f(x)² passt besser zu g(x) = ³√f(x)

Das wird beim Erweitern vielleicht etwas anspruchsvoller. Versuch das mal selbst, falls du in der Frage die 3 für 3. Wurzel stehen hast.