1. Bestimmen Sie die Ableitung an der Stelle x0
f(x)=1/2x² D=R\{0} x0=3/2
2.Bestimmen sie die Ableitungsfunktion und die Ddefinitionsmenge
f(x)=2x²-x D=R
Über eine ausführlich Antwort wäre ich sehr dankbar. LG Thommy093
erstens heißt es sicher1 / ( 2*x2 ) ( Klammerung vergessen )zweitens : sollst du mit der delta-h methodedie Ableitung bestimmen oder genügt die Ableitung über dieverkürzte Quotientenregelf ( x ) = 1 / ( 2x2 )f ´( x ) = - 4x / ( 4x4 ) = -1 / x3
Wir sollen dies, über die delta-h methode machen.
Lg Thommy093
Das kann entweder mit dem Differentialquotient oder mit der Ableitungsregel bestimmt werden. Lösung mit Differentialquotient: f′(32)=limx→32f(x)−f(32)x−32=limx→3212x2−12⋅(32)2x−32=limx→3212(1x2−1(32)2)x−32=limx→3212⋅(1x2−1(32)2)⋅1x−32=limx→3212⋅(32)2−x2x2⋅(32)2⋅1x−32=limx→3212⋅(32−x)⋅(32+x)x2⋅94⋅1x−32=limx→3212⋅−(x−32)⋅(32+x)x2⋅94⋅1x−32=limx→32−(32+x)x2⋅92=limx→3229⋅−(32+x)x2=29⋅−(32+32)94=−29⋅49⋅3=−29⋅43=−827f'\left(\frac{3}{2}\right)=\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{f(x)-f\left(\frac{3}{2}\right)}{x-\frac{3}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2\cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2}}{x-\frac{3}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{ \left(\frac{3}{2}\right)^2}\right)}{x-\frac{3}{2}} =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}{\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{ \left(\frac{3}{2}\right)^2}\right)}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{ \left(\frac{3}{2}\right)^2-x^2}{x^2\cdot \left( \frac{3}{2}\right)^2}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{\left(\frac{3}{2}-x\right)\cdot \left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2\cdot \frac{9}{4}}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{-\left(x-\frac{3}{2}\right)\cdot \left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2\cdot \frac{9}{4}}\cdot \frac{1}{x-\frac{3}{2}} =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{-\left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2\cdot \frac{9}{2}} \\ =\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}}\frac{2}{9}\cdot \frac{-\left(\frac{3}{2}+x\right)}{x^2}=\frac{2}{9}\cdot \frac{-\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)}{\frac{9}{4}}=-\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{9}\cdot 3 \\ =-\frac{2}{9}\cdot \frac{4}{3} =-\frac{8}{27}f′(23)=x→23limx−23f(x)−f(23)=x→23limx−232x21−2⋅(23)21=x→23limx−2321(x21−(23)21)=x→23lim21⋅(x21−(23)21)⋅x−231=x→23lim21⋅x2⋅(23)2(23)2−x2⋅x−231=x→23lim21⋅x2⋅49(23−x)⋅(23+x)⋅x−231=x→23lim21⋅x2⋅49−(x−23)⋅(23+x)⋅x−231=x→23limx2⋅29−(23+x)=x→23lim92⋅x2−(23+x)=92⋅49−(23+23)=−92⋅94⋅3=−92⋅34=−278 Lösung mit Ableitungsregel: f′(x)=(12x2)′=(12x−2)=12⋅(−2)x−3=−1x3→f′(32)=−1(32)3=−1278=−827f'(x)=\left(\frac{1}{2x^2}\right)'=\left(\frac{1}{2}x^{-2}\right)=\frac{1}{2}\cdot (-2)x^{-3}=-\frac{1}{x^3} \rightarrow f'\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^3} \\ =-\frac{1}{\frac{27}{8}} =-\frac{8}{27}f′(x)=(2x21)′=(21x−2)=21⋅(−2)x−3=−x31→f′(23)=−(23)31=−8271=−278
Danke, aber habe mich bei der ersten Aufgaben vertippt.
müsste f(x)=1/(2x²) D=R\{0} x0=3/2 heißen.
Lg. Thommy093
Achso, ok! Habe meine Antwort bearbeitet!
Hier die Ableitung für die 2.Aufgabe
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