Normalverteilte Zufallsvariable X~N(260; 1600)

Question

Nehmen Sie an, dass X eine normalverteilte Zufallsvariable ist. X~N(260; 1600)

  Bestimmen Sie P(210 < X < 290)

  Bestimmen Sie P(210 < X < 310)   

Bestimmen Sie P(300 < X < 360)   

Bestimmen Sie P(190 < X < 240)   

Bestimmen Sie P(X < 240)   

Bestimmen Sie P(X > 340) 

und bitte mit Rechenweg.

Answer 1

Hallo mona,

Das werde ich sicherlich nicht alles rechnen! ;) Aber ich kann dir erklären anhand vom ersten, wie man das macht:

Du hast $X∼\mathcal{ N(260, 1600)}$. Das heißt du hast die Varianz $\sigma^2$ und den Erwartungswert $\mu$ gegeben. Die Varianz kannst du ganz einfach zur Standardabweichung umrechnen, in dem du die Quadratwurzel aus der Varianz ziehst.$$\sigma=\sqrt{1600}=40$$Bestimmen Sie P(210 < X < 290):

Die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls wird wie folgt berechnet:$$\displaystyle\text P(x\leq \text X\leq y)\approx\Phi\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ Du hast das Intervall $[210;290]$ gegeben, die deine $x$ und $y$ darstellen. Du hast den Erwartungswert von $\mu=260$ und die Standardabweichung von $\sigma=40$. Nun setzt du erstmal alles, was du weißt ein:$$\displaystyle\text P(210\leq \text X\leq 290)\approx\Phi\left(\frac{290-260}{40}\right)-\Phi\left(\frac{210-260}{40}\right)$$ Nun rechnest du die beiden Klammern aus und erhältst:$$\displaystyle\text P(210\leq \text X\leq 290)\approx\Phi\left(0.75\right)-\Phi\left(-1.25\right)=\Phi\left(0.75\right)-(1-\Phi\left(1.25\right))$$ Nun schlägst du in einer Tabelle die Werte nach, siehe hier auf Wikipedia:$$\displaystyle\text P(210\leq \text X\leq 290)\approx 0,77337-(1-0,89435)$$$$\displaystyle\text P(210\leq \text X\leq 290)\approx 0.66772$$ Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

Comments

Wie kommt man auf den Erwartungswert von 200? Da steht 260. Ist da ein Tippfehler oder habe ich etwas verpasst?

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Hallo,

danke, das ist ein Tippfehler. Ist korrigiert.

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Vielen danke racine_carree.

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Bestimmen Sie P(X < 240) 

Bestimmen Sie P(X > 340)

Was würde man denn für X nehmen wenn es größer ist?

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Da $X$ eine stetige Zufallsvariable ist, nimmst du 240 bzw. 340, da sich $X$ beliebig annäheren kann und der Rand, als einzelner Punkt, das Wahrscheinlichkeitsmaß 0 hat.

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Also könnte ich :

das ausrechnen wie größer X. Die Rechenart..