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Eine Polynomfunktion 3.Grades hat den Wendepunkt W(-1/0) und im Punkt P(0/-3/8) eine Normale mit der Steigung 1/2

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Ausgangsgleichungen

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\f''(x)=6ax+2b $$

Nun die Eigenschaften:

$$(1)\quad f(-1)=0\\(2)\quad f(0)=-\frac{3}{8} \Rightarrow d=-\frac{3}{8}\\(3)\quad f'(0)=-2\Rightarrow c=-2\text{ wegen Normalensteigung.}\\\qquad \text{ Normalensteigung ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung.}\\(4)\quad f''(-1)=0  $$

Bleibt also nur ein LGS mit 2 Variablen zu lösen.

$$(1) -a+b-2-\frac{3}{8}=0\\(4) -6a+2b=0\\ a=-\frac{13}{16}\\b=-\frac{39}{16}  $$

$$ f(x)=-\frac{13}{16}x^3-\frac{39}{16}x^2-2x-\frac{3}{8} $$

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