dieser Beweisverlauf ist nicht so ganz schlüssig und weist auch in der Schreibweise Fehler auf. Zum einen steht bei dem Laufindex der falsche Buchstabe. Statt n=1 muss i=1 stehen, weil n bereits als Obergrenze für die Summierung vergeben ist.
Ich kann ja mal meinen Weg präsentieren:
Behauptung: ∀ n∈ℕ\{0}:
$$ \sum_{i=1}^{n}{5^{i-1}}=\frac{1}{4}(5^n-1) $$
Induktionsanfang
$$ \text{Sei } n_0=1. \text{ Dann ist }\\\sum_{i=1}^{1}{5^{i-1}}=5^{1-1}= 5^0=1=\frac{1}{4}\cdot 4= \frac{1}{4}(5^1-1). \\\text{Damit ist die Aussage für n=1 wahr.} $$
Induktionsschritt
-Angenommen die Aussage sei für ein festes, aber beliebiges n∈ℕ\{0} wahr, so dass gilt :
$$ \sum_{i=1}^{n}{5^{i-1}}=\frac{1}{4}(5^n-1)\quad (IV) $$
-Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also:
$$ \sum_{i=1}^{n+1}{5^{i-1}}=\frac{1}{4}(5^{n+1}-1) $$
-Dies zeigt man so:
$$ \sum_{i=1}^{n+1}{5^{i-1}}=\Bigg(\sum_{i=1}^{n}{5^{i-1}}\Bigg)+5^n\stackrel{(IV)}{=}\Bigg(\frac{1}{4}(5^n-1)\Bigg)+5^n=\frac{1}{4}\cdot 5^n-\frac{1}{4}+5^n=5^n\cdot \Big(\frac{1}{4}+1 \Big)-\frac{1}{4}\\[20pt]=5^n\cdot \frac{5}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5^{n+1}}{4}-\frac{1}{4}=\underline{\underline{\frac{1}{4}(5^{n+1}-1)}} $$
Damit wurde die Aussage für alle n∈ℕ\{0} bewiesen.
q.e.d
Und wieso kann ich direkt nacht dem ersten ist gleich die Summe so auseinander ziehen?
Du kannst Summen beliebig auseinanderpflücken, wie man es gerade braucht. Das macht man eben, um hier die Induktionsvoraussetzung wieder zu gewinnen. Diese setzt man ein und gelangt dann damit zu dem behaupteten Ausdruck vom Induktionsschritt.
