Gaußscher Satz in der Ebene/Integralsatz

Question

Sei

A := {(x,y) ∈R² : 3(x−1)² + 2y² ≤ 1}.

Berechnen Sie mittels dem Gaußschen Satz in der Ebene den Flächeninhalt von A

Irgendjemand einen Plan? Hab leider gar keine Idee wie ich den Integralsatz anwenden soll.

Answer 1

$$\int_A(P_x+Q_y)\,d(x,y)=\oint_{\partial A}(P\,dy-Q\,dx)$$ Waehle $P$ und $Q$ so, dass $P_x+Q_y=1$ wird.

Comments

Gibt es die Möglichkeit, dass du mir das an einem elementaren Beispiel vorrechnest?

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Kannst Du Funktionen $P$ und $Q$ angeben, für die $P_x+Q_y=1$ ist?

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P=1 & Q = y

...

P=0.5x & Q = 0.5y

...

P=x & Q = 1

oder etwas komplizierter: P= 2x + (2/3)x³ & Q = -1y -2x²y

Meinst Du so?

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Damit hast Du bereits vier Formeln, um |A| als Integral ueber den Rand von A zu bestimmen. Such Dir eine davon aus. Ich wuerde eine von den einfachen nehmen.

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Ich bin mir sicher, dass es sehr trivial ist, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch.

((Stattdessen habe ich das Problem in Polarkoordinaten(x=(2/3)^1/2rcos(theta)+1;y=rsin(theta)) transformiert, die Funktionsdeterminate bestimmt und bin so auf sqrt(2/3)*pi/2 gekommen.))

Muss mir das mit dem Rand nochmal morgen früh in Ruhe angucken, danke aber schonmal!

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Im Internet finde ich überall verschiedene Schreibweisen, wie drückt |A| als Integral über den Rand von A konkret aus? Wie erhalte ich die Integrationsgrenzen? Durch Transformation?

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Brauchst Du jetzt schon Internet, um das $P$ und das $Q$ aus dem angeschriebenen Integralsatz von Gauss durch konkret gewaehlte Funktionen zu ersetzen? Du hast vier Vorschlaege fur Funktionen mit $P_x+Q_y=1$ gemacht. Jeder Vorschlag ergibt eine Formel für den gesuchten Flaecheninhalt $|A|$ von $A$: $$|A|=\oint_{\partial A}(P\,dy-Q\,dx).$$ Dein zweiter z.B. $$|A|=\frac{1}{2}\oint_{\partial A}(xdy-ydx)$$ und Dein vierter $$|A|=\oint_{\partial A}\left[(y+2x^2y)\,dx+(2x+\frac{2}{3}x^3)\,dy\right].$$ Mehr faellt mir dazu nicht mehr ein. Wie man Kurvenintegrale ausrechnet, musst Du selber wissen.