Differentialgleichungssystem x'(t)= 2x+y+5te^{-t}, y'(t)=x+2y+z,...

Question

Gegeben sei folgende Differentialgleichungssystem:

x'(t)= 2x+y+5te^{-t}

y'(t)=x+2y+z

z'(t)=-2y+2z

bestimmen Sie die allgemeine Lösung und spezielle Lösung mit [x(0), y(0), z(0)]=[0,0,0]

Answer 1

a) Eigenwerte:(Berechnung z.B nach SARRUS)

| 2- λ      1        0    |

|  1        2- λ     1    |      = 0

|  0         -2      2- λ |

(2- λ)^3 -( -2(2-λ) +2- λ) =0

-λ^3 + 6 λ^2 - 12 λ + 8  -(-4 +2λ +2- λ) =0

-λ^3 + 6 λ^2 - 13 λ +10  =0

λ₁=2

λ₂= 2- i

λ₃= 2+i

b) Eigenvektoren:

v₁ = (-1, -i, 2)

v₂ = (-1, i, 2)

v₃ = (-1, 0, 1)

usw

Lösung: (mit AWB)

x(t) = -1/90 e^{-t} (165 t - 100 e^{3 t} + 27 e^{3 t} sin(t) + 36 e^{3 t} cos(t) + 64)

y(t) = 1/10 e^{-t} (5 t + 4 e^{3 t} sin(t) - 3 e^{3 t} cos(t) + 3)

z(t) = 1/45 e^{-t} (15 t - 50 e^{3 t} + 27 e^{3 t} sin(t) + 36 e^{3 t} cos(t) + 14)