Dreiecksmatrix bestimmen

Question

Die Matrix
A =
9      6     12
6      8     78
12   78   1250

ist positiv definit. Finden Sie eine reelle obere Dreiecksmatrix
T =

t11    t12    t13
0      t22     t23
0       0       t33

sodass A = T^TT gilt. Die Diagonalelemente von T sollen dabei positiv sein.

Wie kann ich bei diesem Beispiel vorgehen? 

Vielleicht zuerst die Eigenwerte bestimmen? 

Answer 1

Ich würde erstmal vorschlagen, Du tust genau das was da steht:

\(T^T T - A = \left(\begin{array}{rrr}t11^{2} - 9&t11 \; t12 - 6&t11 \; t13 - 12\\t11 \; t12 - 6&t12^{2} + t21^{2} - 8&t12 \; t13 + t21 \; t23 - 78\\t11 \; t13 - 12&t12 \; t13 + t21 \; t23 - 78&t13^{2} + t23^{2} + t33^{2} - 1250\\\end{array}\right)\)

Du kannst jetzt auflösen \(T^T T - A = 0\) , z.B. pos Diagonale mit

\( \left\{  \left\{ t11 = 3, t12 = 2, t13 = 4, t21 = 2, t23 = 35, t33 = 3 \right\} , ....  \right\} \)

Comments

Vielen herzlichen Dank!

Ich bekomme als Matrix dann folgendes heraus:

T=

3     2   4

0     2   35

0     0   3

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Yep, das ist die LÖsung mit den positiven Diagonalelementen wie ich sie auch berechnet habe.