Zeigen Sie, dass die Folge (xn)n∈ℕ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert

Question

Die Folge (x_n)_n∈ℕ mit Startwert x₁ ∈ ℝ sei rekursiv definiert durch x_n+1 := x_n −x²_n

Sei x₁ ∈ [0,1]. Zeigen Sie, dass die Folge (x_n)_n∈ℕ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

Answer 1

Tipp1:  \(x_n-x_{n+1}=x_n-(x_n-x_n^2)=x_n^2\ge0\) für alle \(n\).
Tipp2:  \(x_{n+1}=x_n-x_n^2=x_n\cdot(1-x_n)\in[0,1]\), falls \(x_n\in[0,1]\) ist.