Unterbestimmtes Gleichungssystem: x+ 2y+12z= 1; 3x+2y+16z=3

Question

kann mir bitte jemand helfen, ich soll ein unterbestimmtes Gleichungssystem lösen und weiß nicht wie

x+ 2y+12z= 1

3x+2y+16z=3

Präzision: "müsste so lösbar sein mit einem Parameter glaub ich, aber ich weiß halt nicht wie man so etwas genau löst."

Comments

Du hast 3 Unbekannte x, y und z und nur zwei Gleichungen ?

Da die Zahl der Unbekannten größer als die Anzahl der Gleichungen ist, ist eine analytische Lösung aus meiner Sicht nicht möglich.

Entweder man bekommt es durch probieren heraus oder es fehlt eine 3. Gleichung.

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es fehlt keine dritte Gleichung, es müsste so lösbar sein mit einem Parameter glaub ich, aber ich weiß halt nicht wie man so etwas genau löst.

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Du kannst irgendetwas durch einen Parameter ersetzen.

z.B. t = z.
und dann noch x und y auflösen.

JotEs hat das unten vorgeführt und dabei gleich z als Parameter drinngelassen.

mit t sieht das Resultat folgendermassen aus:

x = 1-2t

y = -5t

z=t

Nun kannst du daraus die Parametergleichung der Schnittgeraden ablesen.

g: r = (1,0,0) + t(-2, -5, 1)

vgl. Vektorgeometrie.

Answer 1

Nun, bei einem unterbestimmten Gleichungssystem kann man versuchen, eine Lösung zu finden, die von einer der Variablen abhängt. Das geht so:

x + 2 y + 12 z = 1

3 x + 2 y + 16 z = 3

Erste Gleichung von der zweiten subtrahieren:

=> 2 x + 0 y + 4 z = 2

<=> x + 2 z = 1

<=> x = 1 - 2 z

Setzt man dies zum Beispiel in die erste Gleichung ein erhält man:

 

1 - 2 z + 2 y + 12 z = 1

<=> 2 y = - 10 z

<=> y = - 5 z

In Abhängigkeit vom beliebig wählbaren Wert von z erhält man dann jeweils eine eindeutig Lösung: 

 

Beispiel:

z = 3

=> y = - 15 und x = - 5

Setzt man dies in die beiden ursprünglichen Gleichungen ein, erhält man:

- 5 + 2 * ( - 15 ) + 12 * 3 = - 5 - 30 + 36 = 1 (korrekt)

3 * ( - 5 ) + 2 * ( - 15 ) + 16 * 3 = - 15 - 30 + 48 = 3 (auch korrekt)

Answer 2

Ja doch, geht schon.

Obere Gleichung mit -3 multiplizieren und die beiden Gleichungen addieren, dann bekommt man als Teilgleichung y = -2z heraus. Diesen Term setze in beide Gleichung ein und löse das System mit beispielsweise dem Einsetzverfahren.

Daraus ergeben sich die Lösungen x = 1 und y = z = 0 (falls ich mich nicht verrechnet habe).

Hätte man aber durch einen scharfen Blick auch so finden können .-)

Comments

Ich hab leider keinen Blick für Mathe, aber vielen Dank für die Hilfe :)

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Jetzt müsstest du einfach noch einen zweiten Lösungspunkt erraten und dann eine Parametergleichung für die Gerade durch diese beiden Punkte hinschreiben.

So hättest du alle Lösungen auf einen Schlag.