DGL: y2*y' + x2 = 1

Question

ich benötige hilfe beim Lösen folgender DGL: y²*y' + x² = 1

das sind meine schritte:

y'=1/y² - x²/y²

substituiere: u= 1/y² --> y²=u --> y= u¹/2 --> y'=1/2*u^-1/2

nun einsetzten in DGL 1/2u^-1/2 = u - x²/u aber jetzt komme ich nicht weiter, ich denke das was ich getan habe bringt nicht wirklich was

dankee

Answer 1

Wie lautet die genaue Aufgabe? Du kannst Diese DGL über Trennung der Variablen lösen.

y²*y' + x² = 1 | -x²

y²*y'          = 1 -x²

y'=dy/dx

y²* dy/dx         = 1 -x² | *dx

y²* dy       = (1 -x² )dx

usw.

oder durch Substitution:(wenn gefordert in der Aufgabe)

z=y/x

y=z x

y '= z+z'x

eingesetzt:

y' =(1-x²)y²

z=y/x eingesetzt:

z +z'x = 1/(x² *z²)  -(1/z)²

ist aber umfangreicher von der Lösung her.

Answer 2

du brauchst hier nicht zu substituieren, ist doch direkt trennbar:

y²*y' + x² = 1

y² y'=1-x²

y² dy =(1-x²)dx

1/3 y³ =x-1/3x³ +c

y³=3x-x³ + C

y= (3x-x³ + C)^1/3