Untersucht man die Nenner, dann stellt man fest, dass es zwei verschiedene Unstetigkeitsstellen gibt. Damit gibt es drei Bereiche, in denen die Ungleichung untersucht werden muss und daher sind drei Fallunterscheidungen erforderlich.
Die Unstetigkeitsstellen liegen bei:
x - 2 = 0 <=> x = 2
und
3 x - 1 = 0 <=> x = 1 / 3
Fall 1: x < 1 / 3
Dann ist sowohl x - 2 < 0 als auch 3 x - 1 < 0. Bei der Multiplikation der Ungleichung mit den Nennern muss also das Ungleichheitszeichen zwei mal umgekehrt werden, d.h., es bleibt so wie es ist. Also:
$$\frac { x }{ x-2 } >\frac { x-3 }{ 3x-1 } \\ \Leftrightarrow \quad x(3x-1)>(x-3)(x-2)\\ \Leftrightarrow \quad 3x²-x>x²-5x+6\\ \Leftrightarrow \quad 2x²+4x-6>0\\ \Leftrightarrow \quad x²+2x>3\\ \Leftrightarrow \quad x²+2x+1>4\\ \Leftrightarrow \quad (x+1)²>4\\ \Leftrightarrow \quad |x+1|>2\\ \Leftrightarrow \quad x+1>2\quad \vee \quad -x-1>2\\ \Leftrightarrow \quad x>1\quad \vee \quad x<-3$$
Da x > 1 der Fallvoraussetzung x < 1 / 3 widerspricht, ist die einzige Lösung: x < -3
Fall 2: 1 / 3 < x < 2
Dann ist x - 2 < 0 und 3 x - 1 > 0. Bei der Multiplikation der Ungleichung mit den Nennern muss also das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden:
$$\frac { x }{ x-2 } >\frac { x-3 }{ 3x-1 } \\ \Leftrightarrow \quad x(3x-1)<(x-3)(x-2)\\ \Leftrightarrow \quad 3x²-x<x²-5x+6\\ \Leftrightarrow \quad 2x²+4x-6<0\\ \Leftrightarrow \quad x²+2x<3\\ \Leftrightarrow \quad x²+2x+1<4\\ \Leftrightarrow \quad (x+1)²<4\\ \Leftrightarrow \quad |x+1|<2\\ \Leftrightarrow \quad x+1<2\quad \wedge \quad -x-1<2\quad \\ \Leftrightarrow \quad x<1\quad \wedge \quad x>-3\\ \Leftrightarrow \quad -3<x<1$$
Aufgrund der Fallvoraussetzung ist die Lösung: 1 / 3 < x < 1
Fall 3: x > 2
Dann sind beide Nenner positiv, das Ungleichheitszeichen bleibt also wie es ist.
Die Lösung ist daher unter Vernachlässigung der Fallvoraussetzung dieselbe wie in Fall 1, also
x > 1 oder x < - 3
Unter Berücksichtigung der Fallvoraussetzung ergibt sich damit als Lösung: x > 2
Somit ist die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung:
L = { x e R | ( x < - 3 ) ∨ ( 1 / 3 < x < 1 ) ∨ ( x > 2 ) }
Hier noch ein Schaubild zu dieser Ungleichung und ihrer Lösungsmenge:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2F%28x-2%29%3E%28x-3%29%2F%283x-1%29from-7to5
