Seien a, b, a', b' Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: {{a,b},{a}}={{a', b'}{a'}}...

Question

Seien a, b, a', b' Mengen. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(1) \( \{\{a, b\},\{a\}\}=\left\{\left\{a^{\prime}, b^{\prime}\right\},\left\{a^{\prime}\right\}\right\} \)

(2) \( a=a^{\prime} \) und \( b=b^{\prime} \).

Bemerkung. Die Definition \( (a, b)=\{\{a, b\},\{a\}\} \) liefert also eine explizite mengentheoretische Konstruktion für geordnete Paare: \( (a, b) \) ist eindeutig durch seine Koordinaten bestimmt. Diese Darstellung geht auf KURATOWSKI (1896-1980) zurück.

Answer 1

Hallo,

(2)->(1) ist trivial.

(1)->(2):
Aus {{a,b},{a}}={{a',b'},{a'}} folgt

a){a,b}={a',b'} und {a}={a'}
oder
b) {a,b}={a'} und {a}={a',b'}.

Fall a)
{a}={a'} liefert a=a'.
{a,b}={a',b'} bedeutet also {a,b}={a,b'}, d.h. b=b'.

Fall b)
{a,b}={a'} liefert a=a'=b, entsprechend
{a',b'}={a} liefert a'=a=b', also insbesondere
a=a' und b=b'

Gruß ermanus