Zeigen, dass die Tupel B und B' geordnete Basen von U sind (V) sind

Question

Seien U und V die folgenden R-Vektorräume:
U := {(x,y,z) e ℝ³ | x = 2y + 2z}

V:= ℝ³

a) Zeigen Sie, dass die tupel B und B' geordnete Basen von U und C und C' geordnete Basen von V sind:

B:={(2,0,1),(2,1,0)}

B':={(2,1,0),(8,3,1)}

C:={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

C':={(1,0,0),(4,-1,1),(0,-1,0)}

b) f:U->V die lineare Abbildung, die bezüglich der Basen B und C gegeben ist durch die
Matrix CMB(f)=(3,1)(1,0)(0,0). Berechnen Sie C'MB'(f), also die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B' und C'. 

Comments

Was ist mit "geordneten" Basen gemeint?

Answer 1

U ist der Lösungsraum der homogenen Gleichung

- x + 2y + 2z = 0

also 2-dimensional.

Je zwei lin. unabh. Elemente von U bilden also

eine Basis für U.

{(2,0,1),(2,1,0)} sind offenbar lin. unabh.

und Einsetzen zeigt: sind beide in U.

(2,1,0),(8,3,1) sind lin. unabh. und auch in U, also auch ne Basis.

R^3 ist dreidimensional, also bilden je 3

lin. unabhängige Elemente von R^3 eine

Basis.  (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ist die

Standardbasis.

(1,0,0),(4,-1,1),(0,-1,0) sind lin. unabh.,

also auch ne Basis.

Comments

Jetzt kann ich alles nachvollziehen :)