Unterschiedliche Definitionen von Injektivität

Question

es geht um zwei Definitionen von Injektivität, die ich hier bei einer Abbildung $$g: \ [-4,4]\rightarrow \mathbb{R},x \mapsto -\frac{1}{2}x^2+4$$ heranziehen möchte.

Bisher kannte ich folgende Definition für die Injektivität:

$$\text{Definition (,,bisher"). Sei } f: X\rightarrow Y\text{ eine Abbildung. }f\text{ heißt injektiv, wenn für alle }\\x_1,x_2\in X \text{ gilt: }f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.$$

Nun habe ich folgende Definition kennengelernt.

$$\text{Defintion (,,neu"). Eine Abbildung }f: X\rightarrow Y \text{ heißt injektiv, wenn }\\f(x_1)\neq f(x_2)\text{ für alle }x_1,x_2\in X \text{ mit }x_1\neq x_2\text{ gilt.}$$

Müsste dann mein Beweis zur Injektivität für g nach der Definition (,,neu") dann so aussehen?

$$\text{Sei }g(x_1)\neq g(x_2) \text{ für zwei beliebige Elemente }x_1,x_2\in [-4,4]. \text{Dann gilt}\\ g(x_1)=-\frac{1}{2}x_1^2+4\neq -\frac{1}{2}x_2^2+4= g(x_2) \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x_1^2\neq -\frac{1}{2}x_2^2 \Leftrightarrow x_1^2\neq x_2^2 \Rightarrow x_1\neq x_2.$$

Answer 1

Müsste dann mein Beweis zur Injektivität für g nach der Definition (,,neu") dann so aussehen?

Nein.

Die Aussagen A → B und ¬B → ¬A sind gleichwertig (es sind Kontrapositionen voneinander). Die zwei Definitionen ebenfalls.

    bisher:

        A: f(x₁) = f(x₂)

        B: x₁ = x₂

        A→B

    neu:

        ¬A: f(x₁) ≠ f(x₂)

        ¬B: x₁ ≠ x₂

        ¬B → ¬A

Deshalb darfst du sowohl A → B als auch ¬B → ¬A heranziehen um Injektivität zu zeigen, egal welche der Definition du verwendest.

Comments

Ja, die Kontraposition, wie du sie grad beschrieben hast kenn ich auch. Aber für mich sieht diese ,,neue" Definition überhaupt nicht danach aus. Für mich war das auf den ersten Blick schon fast etwas neu zusammengeschmissenes Zeug. Warum soll das eine Implikation in Form einer Kontraposition sein?

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f(x₁) ≠ f(x₂) für alle x₁, x₂ ∈ X mit x₁ ≠ x₂ ...

Mit anderen Worten: wenn x₁ ≠ x₂ ist, dann ist f(x₁) ≠ f(x₂).

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Dann hätte der Autor das auch so formulieren sollen...

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Nein. Der Autor verwendet die Quantoren in der üblichen Weise. Das solltest du "lesen" lernen.

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Ich finde aber, dass das ziemlich dämlich hingeschrieben wurde. Wie soll man bitte als Leser darauf kommen, dass die Kontraposition gemeint ist?

Nun habe ich ja bereits vorher die Kontraposition kennengelernt.

Angenommen, ich lerne die Injektivität über diese ,,neue" Definition kennen. Wie soll man bitte dann die Kontraposition rauslesen können???