es gibt eine funktion ϕ ∈C∞ (I) mit I=(-ε,ε) und ϕ(x)=0 ,sodass die Gleichung xϕ^2(x)+2x^2e^{ϕ(x)}=ϕ(x) erfüllt ist

Question

Ich brauche eure Hilfe. Da ich die ersten drei Vorlesungswochen krank war, bin ich jetzt ein bisschen hinterher. Es wäre echt lieb wenn mir jemand die folgende Aufgabe erklären könnte, weil ich weiß leider gar nicht, was ich machen muss.

zu zeigen ist, dass es eine funktion ϕ ∈C^∞ (I) mit I=(-ε,ε) und ϕ(x)=0 gibt, die die Gleichung xϕ²(x)+2x²e^ϕ(x)=ϕ(x) erfüllt.  Außerdem soll noch Φ´(0) bestimmt werden.

Answer 1

Schau dir die Funktion f: ℝ²→ℝ mit f(x,y)=xy²+2x²e^y-y  an, dann gilt f(0,0)=0 und f_y(0,0)=-1≠0. Ich hoffe das hilft dir weiter