Unabhängigkeit von A und nicht A bedeutet Pr(A) ∈ {0, 1}. Beweis?

Question

Es sei (Ω, F, Pr) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, C ∈ F. Beweisen Sie die fol-
genden Behauptungen:
a) Sind die Ereignisse A und ¬A unabhängig, dann ist Pr(A) ∈ {0, 1}.

Answer 1

Behauptung: Sind die Ereignisse A und ¬A unabhängig, dann ist Pr(A) ∈ {0, 1}.

P(¬A ) = 1 - P(A)            (Gegenwahrscheinlichkeit)

P(¬A )*P(A) = P(¬A n A)           wegen Unabhängigkeit

 P(¬A n A) = P({}) = 0

Also 

(1-P(A)) * P(A) = 0

-----> P(A) = 1 oder P(A) = 0. qed.