Zeigen, dass gilt: (−x) · (−y) = x · y. Körperaxiome

Question

Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass gilt:

∀ x, y ∈ R : (−x) · (−y) = x · y.

Ich muss obige Aufgabe lösen. Im Kopf ist das ja ohne Probleme zu lösen, aber kann mir bitte jemand helfen dies unter verwendung der Körperaxiome zu machen? Ich weiß es gibt hier bereits einen ähnlichen Lösungsvorschlag, der vewirrt mich allerdings komplett...

Comments

Geht es denn  nun um einen Körper oder einen Ring ?

Gilt zum Beispiel die Kommutativität der Multiplikation ?

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Also in der selben Aufgabe kommen später auch Körper vor, aber in diesem Fall wird nur von einem Ring gesprochen.

Answer 1

Sei R ein Ring. Zeigen Sie, dass gilt:   ∀ x, y ∈ R : (−x) · (−y) = x · y.

Hat bei euch eine Ring immer ein 1-Element ?

Dann ist wohl erst mal hilfreich zu zeigen:

∀ x, y ∈ R :      -x = (-1)*x .

Das heißt:   (-1)*x ist das additive Inverse zu x, das

wiederum heißt:

Wenn man (-1)*x zu x addiert, gibt es 0.

Das zeigst du so:

(-1)*x + x    verwende: neutrales El. der Mult.

= (-1)*x + 1*x    Distributiv

= ((-1)+1) * x    Inverses von 1

=    0 * x      Mult. mit 0

= 0

Entsprechend auch die zweite Eigenschaft des Inversen

x + (-1)*x  und auch   -x = x*(-1) zeigen.

Dann kannst du den Rest über die Assoziativität machen

(-x)*(-y) = ((-1)*x)*(-y)

= (-1) * ( x*(-y) )

= (-1) * ( x*y*(-1)) )

= (-1) * (-( x*y))

= - ( - x*y)    vielleicht habt ihr schon  -(-a))=a bewiesen ?

= x*y

Comments

Vielen Dank für die super Antwort!

Dann kannst du den Rest über die Assoziativität machen

(-x)*(-y) = ((-1)*x)*(-y)

= (-1) * ( x*(-y) )

= (-1) * ( x*y*(-1)) )

Wieso darf ich hier -y zu y*(-1) umschreiben? Geizeigt habe ich doch nur das -x = (-1)*x gilt oder?