Binomialkoeffizient Rechenregeln beweisen

Question

zu zeigen ist folgende Gleichung:

$$\binom{x}{k} + \binom{x}{k-1}=\binom{x+1}{k}$$

$$x \in \mathbb{R}, k \in \mathbb{N}$$

$$\binom{x}{k}:=\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1)}{k!}$$

Meine Ideen: Im ersten Schritt habe ich einfach die Gleichung mit der Defintion umgeschrieben. Es folgt:

$$\binom{x}{k} + \binom{x}{k-1}=\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1)}{k!} + \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1)}{(k-1)!}$$

Dann habe ich den Summanden Rechts mit k erweitert, um einen gleichen Nenner zu bekommen:

$$\binom{x}{k} + \binom{x}{k-1}=\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1)}{k!} + \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1) \cdot k}{k \cdot (k-1)!}=\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1)}{k!} + \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ...  \space (x-k+1) \cdot k}{k!}$$

Nun habe ich das gleiche mit der rechten Seite gemacht:

$$\binom{x+1}{k}=\frac{(x+1)(x)(x-1) \space ... \space (x-k+2)}{k!}$$

Ich sehe jetzt leider keinen Weg, wie ich beide Seiten so umformen kann, dass sie gleich sind.

Answer 1

Beim Einsetzen hast Du bereits einen Fehler gemacht:

$$ \binom{x}{k} + \binom{x}{k-1}=\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ... \space (x-k+1)}{k!} + \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ... \space (x-k \colorbox{#ffff00}{{+2}})}{(k-1)!}$$

Dann geht's weiter, erweitern des rechten Bruchs mit \(k\):

$$ \binom{x}{k} + \binom{x}{k-1} \\ \quad =\frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ... \space (x-k+1)}{k!} + \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ... \space (x-k+2) \cdot k}{k!} $$ Nun kannst Du im Zähler \(x\cdot \dots (x-k+2)\) ausklammern und umformen

$$\quad = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ... \space (x-k+2) \cdot (x-k+1 +k)}{k!} \\ \quad = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \space ... \space (x-k+2) \cdot (x+1)}{k!} \\ \quad = \binom{x+1}{k}$$

Answer 2

Betrachte deinen Weg nach "Meine Ideen: Im ersten Schritt habe ich einfach die Gleichung mit der Defintion umgeschrieben. Es folgt:"

Dein ersten Summand hat nach den Kürzen der Faktoren 1 , 2, ... bis x-k richtigerweise im Zähler noch k absteigende Faktoren.

Dein zweiter Summand müsste im Zähler noch x-(k-1)=x-k+1 Faktoren haben, also eine mehr als im ersten Bruch. Dein Zägler ist aber mit dem aus dem ersten Bruch identisch.

Der eine Faktor (es müsste x-k sein) fehlt.