Konvergenz einer Reihe mit rekursiver Folge

Question

Sei x_n eine durch x₁ = 1 und
$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3}{4} +\frac{(-1)^n}{2}$$
rekursiv definierte Folge. Zeige, dass ∑x_n konvergiert. ( Die Summe geht von n=1 bis unendlich )

Bin Dankbar um jede Hilfe

Answer 1

Der Quotient zwischen zwei benachbarten Gliedern ist abwechselnd 1/4 und 5/4.

Damit ergibt sich $$\frac{x_{n+2}}{x_n}=\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}\cdot \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}$$.

(Je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, könnten die beiden Faktoren auch vertauscht sein).

Hilft das?

Comments

Danke erstmal für die Hilfe. Über welches Kriterium soll man es denn am Schluss zeigen? Ich seh den Weg einfach nicht

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Du kannst zwei Teilfolgen aufstellen (Glieder mit geradem Index bzw. ungeradem Index).

Die Summe jeder der beiden Teilfolgen ist eine geometrische Reihe mit q=5/16.

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Und dann kann ich die Folgen umordnen, sodass meine Reihe nach null knovergiert?

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Nein!

Das erste Folgenglied ist 1. Das zweite Folgenglied lässt sich nach deiner rekursiven Vorschrift mit 5/4 berechnen.

Die Teilfolge mit den ungeraden Indices ist $$1; (5/16); (5/16)²; (5/16)³; \cdots$$

Die Teilfolge mit den geraden  Indices ist $$5/4; ( 5/4)\cdot(5/16); ( 5/4)\cdot(5/16)²; ( 5/4)\cdot(5/16)³; \cdots$$

Beide Teilfolgen haben nur positive Summanden, sie haben also zwei positive Summen und demzufolge gibt es eine positive Gesamtsumme.