Bestimmen Sie für die Kurve γ(t) := (t cos(t), tsin(t)) die Ableitung der Funktion t→ f(γ(t))

Question

Sei f : ℝ² → ℝ² gegeben durch f(x, y) = x² + y².

Bestimmen Sie für die Kurve γ(t) := (t cos(t), tsin(t)) die Ableitung der Funktion t → f(γ(t)) einmal
mit der Kettenregel sowie einmal durch direkte Ableitung der Komposition.

Answer 1

direkt abgleitet ergibt sich:

$$f( γ (t))=t^2\\ f'(t)=2t\\$$

Für die Kettenregel brauchst du die Jakobimatrizen der einzelnen Ableitungen.

$$f(x,y)=x^2+y^2\\ D_f=(2x,2y)\\ γ(t)=(tcos(t),tsin(t))\\ D_γ=(cos(t)-tsin(t),sin(t)+tcos(t))^T$$

Die Kettenregel ist dann (innere Ableitung mal äußere Ableitung):

$$f'(γ(t))=(D_γD_f)(t)=(cos(t)-tsin(t),sin(t)+tcos(t))^T(2x,2y)\\ =2x(cos(t)-tsin(t))+2y(sin(t)+tcos(t))\\ =2tcos(t)(cos(t)-tsin(t))+2tsin(t)(sin(t)+tcos(t))\\ =2t(cos^2(t)+sin^2(t))=2t$$