3-mal-Mindestens-Aufgabe mit P(X>=20)

Question

Ich habe eine 3x-Mindestens-Aufgabe mit folgenden Parametern:

p = 0,99; n ist gesucht

Jetzt muss ich folgendes berechnen:

$$P(X\ge 20)\ge 0,95$$

Umgestellt also:

$$P(X\le 19)\le 0,05$$

Der Ansatz ist ja dann:

$$\sum \limits_{i=0}^{19}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} \cdot 0,99^i \cdot 0,01^{n-i}} \le 0,05$$

Durch Probieren habe ich jetzt herausgefunden, dass n mindestens 21 sein sollte. Aber kann ich das auch rechnerisch lösen? Mein CAS streikt bei dieser Aufgabe.

Answer 1

$\sum \limits_{i=0}^{19}{\begin{pmatrix} n\\i \end{pmatrix} \cdot 0,99^i \cdot 0,01^{n-i}} \le 0,05$

Dieser Ansatz funktioniert bei $P(X\geq 1) \geq 0,95$ deshalb, weil eine so einfache Ungleichung entsteht, dass sie nach $n$ aufgelöst werden kann. Selbst für $P(X\geq 2)$ entsteht aber schon eine Ungleichung, die durch Äquivalenzumformungen nicht gelöst werden kann, weil $n$ sowohl als Faktor, als auch als Exponent auftaucht. Es ist also ein vollkommen anderer Ansatz notwendig.

Die Idee ist, Sigmaregeln zu verwenden, weil in den Formeln für Standardabweichung und Erwartungswert der Binomialverteilung nur $n$ und $p$ vorkommen, wobei $p$ bekannt ist.

Zunächst ein mal:

        $\begin{aligned} & & P(X\geq20) & \geq0,95\\ & \iff & P(20\leq X) & \geq0,95\\ & \iff & P(20\leq X\leq r) & \geq0,90 \end{aligned}$

Dabei ist $r$ eine Zahl, die genau so weit vom Erwartungswert $\mu$ entfernt ist, wie 20.

Der Wechsel von 0,95 zu 0,90 kommt dadurch zustande, dass die Binomialverteilung annähernd symmetrisch bezüglich $\mu$ ist: wenn 95% der Ergebnisse mindestens 20 sein sollen, dann müssen (100% - 2·(100% - 95%)) = 90% der Ergebnisse innerhalb des symmetrischen Intervalls um $\mu$ liegen, dessen untere Grenze 20 ist.

Laut Sigmaregeln ist

        $P(\mu - 1,64\sigma \leq X \leq \mu + 1,64\sigma) = 0,90$,

also muss

        $20 \leq \mu - 1,64\sigma$

sein. Unter Verwendung der Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung ergibt sich

        $20 \leq n\cdot 0,99 - 1,64\cdot\sqrt{n\cdot 0,99\cdot(1 - 0,99)}$.

Löse diese Ungleichung nach $n$ auf.

Beachte, dass das so bestimmte $n$ nur ein Hinweis ist, wo du nach dem tatsächlichen $n$ suchen musst, insbesondere wenn die Laplace-Bedingung $\sigma \geq 3$ nicht erfüllt ist.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Leider sind wir in der Vorlesung noch nicht so weit, sodass ich das jetzt nicht wirklich verstehe. Wir haben es jetzt durch Probieren gelöst. Aber trotzdem dankeschön!