Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume des R 3 sind

Question

Aufgabe:

1)  V := {(x1, x2, x3) ∈ R 3 : x1^(2)+x2^(2)=2x1x3}

2)  V := {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 = 0 oder x2 = 0}

3)  V := {(x1, x2, x3) ∈ R3: 3x1 + x2 = 0 und x2 + 2x3 = 0}

Problem/Ansatz:

…

Ich bin ein Mathe Ersti und bin mit der aktuellen Aufgabe etwas überfordet. Das Prinzip mit den Bedingungen habe ich verstanden und auch schon Teile dieser Aufgabe gelöst, jedoch weiß ich nicht so recht, wie ich bei diesen Aufgaben vorgehen soll. Könnt ihr mir helfen?

Liebe Grüße

Annika

Answer 1

Eine Eigenschaft eines Unterraumes ist ja

Abgeschlossenheit gegenüber Addition.

Beim 1. Beispiel gehören zu V etwa

(1;1;1)  und (0 ; 0 ; 1 )

prüfen wir mal die Summe, das wäre (1;1;2)

und setzen ein in x1^(2)+x2^(2)=2x1x3

                             1   +     1  = 2*1*2

ist falsch, also Summe nicht in V,

also V kein Unterraum.

Beim 2. Beispiel teste (1;0;0) und (0;1;0) ,

die Summe tut es wieder nicht.

Beim 3. klappt es. Du kannst aus

3x1 + x2 = 0 und x2 + 2x3 = 0   und

3y1 + y2 = 0 und y2 + 2y3 = 0  sicherlich

selber herleiten

3(x1+y1) + (x2+y2) = 0 und (x2+y2) + 2(x3+y3) = 0.

und auch, dass die Multiplikation eines Elementes von V

mit irgendeiner reellen Zahl wieder ein El. aus V liefert.

Dann zeigst du noch, dass (0;0;0) dazu gehört,

also ist V ein Unterraum.

Comments

Vielen Dank! :)