Aufgabe:
Sei σ ein beliebiges Element in Sn. Es gibt eine Darstellung σ = τ1 o τ2 o .. o τm als Produkt von Transpositionen τi. Wir definieren die Funktion sgn: Sn -> {+-1}; σ -> (-1)m. Sie dürfen verwenden, dass die Abbildung wohldefiniert ist.
Problem/Ansatz:
Das Signum einer Transposition τ ∈ Sn ist sign(τ) = -1. Weil jede Permutation σ ∈ Sn als Komposition von Transpositionen geschrieben kann, etwa σ = τ1 o τ2 o .. o τm, legt die Homomorphie das Signum dadurch eindeutig fest: sgn(σ) = sign(τ1)...sign(τs)=(-1)s.
Es gibt somit höchstens einen Homomorphismus: Sn -> {+-1} mit dem Wert -1 auf den Transpositionen.
Kann mir jemand sagen, ob der Ansatz richtig ist und was ich noch mahcen muss?
Vielen Dank vorab!
