Anzahl der Extrempunkte einer ganzrationalen Funktion viertes Grades?

Question

Aufgabe:

Wie viele Extrempunkte kann eine ganzrationale Funktion viertes Grades haben, wenn sie genau zwei Stellen mit waagrechter Tangente hat? Begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

Gegenfragen:

1) Wie viele Nullstellen kann die Ableitung einer Funktion vierten Grades haben?

2) Wie sieht der Graph der Ableitung aus, wenn die Ableitung genau zwei Nullstellen hat?

Comments

Ich würde dann Max. 2 sagen. Ist das richtig?

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Nein.

Das ist nicht richtig.

Answer 2

Wie viele Extrempunkte kann eine ganzrationale Funktion viertes Grades haben, wenn sie genau zwei Stellen mit waagrechter Tangente hat?

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

f'(x) hat den Grad 3. Daher maximal drei Nullstellen. D.h. drei Extremwerte maximal.

Da aber gemäss Aufgabenstellung nur zwei Stellen mit waagerechter Tangente, ist drei Extremwerte unmöglich.

Zwei Extremwerte sind auch nicht möglich.

Begründung:

Fall a>0

lim f(x) = + unendlich für x gegen + oder - unendlich

Der Graph von f beginnt links oben fallend und endet rechts oben steigend.

Dazwischen muss mindestens einmal ein Übergang von fallend in steigend vorkommen (waagerechte Tangente in einem Extremwert).

Weitere Übergänge von steigend in fallend sind nicht möglich, da nur noch eine Stelle mit waagerechter Tangente vorhanden ist.

==> Genau eine Extremstelle.

Fall a<0

 Analog.