Zeigen, dass Abbildung wohldefiniert und ein Isomorphismus ist

Question

Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Zeigen Sie, dass für zwei Untervektorräume U und W von V die Abbildung

U/(U∩W) → (U+W)/W ,  u+ (U∩W) → u+W

wohldefiniert und ein K-linearer Isomorphismus ist.

Problem/Ansatz:

Man kann hier wohl den zweiten Isomorphiesatz verwenden, aber ich komm hier irgendwie nicht weiter. Könnte mir jemand die Lösung zeigen und erklären wie es funktioniert?

Comments

Bei der Wohldefiniertheit muss man zeigen, dass die Vorschrift eine Funktion ist. In der Tat
u+ (U∩W) = v+ (U∩W) ⇒ u-v ∈ U∩W ⇒u - v ∈ W ⇒ u + W = v + W.

Betrachte die lineare Abbildung 
U → (U+W)/W ,  u → u+W
Zeige  
i) K-linear
ii) kern ist U∩W
iii) surjektiv
iv) Wende den ersten Homomorphiesatz für Gruppen/Vektorräume an.

Dein Ansatz mit dem zweiten Isom.-satz liefert nur (ohne Weiteres), dass U/(U∩W) und (U+W)/W isomorph sind. Gut, jedoch ist es nicht bekannt unter welcher Abbildung.