Wurzelkriterium und Umformen

Question

Aufgabe:

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2^n+2}{3^n}}$$

Problem/Ansatz:

ich solle die vorher genannte Reihe auf Konvergenz überprüfen und habe mir gedacht, dass das Wurzelkriterium hier der richtige Weg ist, weil hoch n im Zähler und Nenner vorhanden ist. Allerdings macht mir die +2 zu schaffen.

Also ich würde nach anwenden des Kriteriums folgendes raus bekommen:
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}{\frac{2+\sqrt[n]2}{3}}$$

Was eben für n=1 nicht kleiner als 1, somit wäre die Reihe divergent. Wolfram Alpha sagt mir allerdings die Reihe ist konvergent, also muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben.

Ich vermute beim Umformen, aber vielleicht habe ich auch das falsche Kriterium benutzt

Answer 1

Nach deiner Rechnung

        \(\sqrt[n]{2^n+2}= 2 + \sqrt[n]{2}\)

ist \(\sqrt{6}>\sqrt{9}\), weil

        \(\sqrt{6} = \sqrt{2^2+2}=\sqrt{2^2}+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}>3=\sqrt{9} \).

Irgendwas wird da wohl nicht stimmen.

\(\sqrt[n]{\frac{2^{n}+2}{3^{n}}}\leq\sqrt[n]{\frac{2^{n}\cdot2}{3^{n}}}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{3^{n}}\cdot2}=\sqrt[n]{\frac{2^{n}}{3^{n}}}\cdot\sqrt[n]{2}=\frac{2}{3}\cdot\sqrt[n]{2}\)

Für \(n\to\infty\) gilt \(\sqrt[n]{2}\to 1\) und somit \(\frac{2}{3}\cdot\sqrt[n]{2}\to \frac{2}{3}< 1\).

Und bitte rechne nie wieder \(\sqrt[n]{a+b}=\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}\).