Drehung Vektoren einer Basis

Question

Seien b₁ := (0  1  0)^T, b₂ := (1  0  -1)^T, b₃ := (-1  0  -1)^T die Vektoren der Basis B.

Für t ∈ ℝ \ {8} seien c₁ := 1/3 (2  t  -2)^T, c₂ := 1/3 (-1  -4  1)^T, c₃ := (-1  0  -1)^T die Vektoren der Basis C und E die Standardbasis von ℝ³.

a) Sei γ: ℝ³ → ℝ³ linear mit γ(b_j) = c_j für j ∈ {1,2,3}. Bestimmen Sie _Eγ_E.

b) Gibt es t ∈ ℝ \ {8} so, dass γ aus a) eine Drehung ist? Bestimmen Sie für diese Fälle die Drehachse und den Cosinus des Drehwinkels von γ.

Comments

Du schreibst:

... Bestimmen Sie ${_E\gamma_E}$.

${_E\gamma_E}$ wäre die Identität, bzw. die Einheitsmatrix. Nach dem Vorspann müsste es aber ${_B\gamma_C}$ heißen - oder? Wie sind die Indizes genau?

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Hallo Werner ,

also die Indizes stehen im Allgemeinen bei _Eφ_E z.B. dafür, dass dies die Abbildungsmatrix φ mit den Vektoren E bezüglich E ist.

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...das wäre ja genau die Identität. Wenn ich einen Vektor aus $E$ auf sich selbst abbilde, dann verändert sich ja nichts. Und wenn man den Vektor um eine Drehachse rotiert, hat man ein neues Koordinatensystem, was nicht mehr $E$ ist!

Answer 1

... heißt wahrscheinlich doch ${_E\gamma_E}$. Wäre nett, wenn Du in Deinem Skript eine Definition dazu finden würdest, was diese Indizes bedeuten. Das verwirrt mich ...

Ich vermute, dass mit $\gamma(b_j) = c_j$ eine lineare Abbildung $A \cdot b_j = c_j$ gemeint ist. Wobei $A$ die Abbildungsmatrix ist. Dann gilt $$A \cdot \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}$$und daher$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}^{-1}\\ &= \frac 13 \begin{pmatrix} 1&2&2 \\ -2& t&2 \\ 2&-2&1\end{pmatrix} \end{aligned}$$$A$ ist nur für den Wert $t=-1$ eine Rotation, da nur für $t=-1$ die drei Spaltenvektoren orthogonal zueinander stehen.

Wenn $A$ eine Rotationsmatrix ist, gibt es nur einen Eigenvektor. Und der ist gleich der Drehachse $d$. Hier ist das $$d=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Eine Möglichkeit den Drehwinkel, bzw. seinen Cosinus, zu berechnen ist:$$(d \times b_1)\cdot (d \times c_1) = |d \times b_1| \cdot |d \times c_1| \cdot \cos \alpha$$Die Vektoren $d \times b_1$ und $d \times c_1$ sind zwei Vektoren, die durch die Drehung ineinander überführt werden und sich in der Drehebene befinden, weil sie senkrecht zu $d$ stehen. Folglich ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Drehwinkel. Ich habe $\cos \alpha = 1/3$.

Falls Du Fragen hast, so stelle sie möglichst gleich; ist schon spät!

Gruß Werner

Comments

Absatz über $\cos \alpha$ hinzugefügt.