LR Zerlegung einer Matrix mit Hilfe von Pivots. A = ((0,-1,1,-2)(-1,0,-4,1)(....))

Question

Wie geht man bei der LR-Zerlegung vor und was hat es mit dem Pivot suchen auf sich?

Ich hab die folgende 4x4 Matrix gegeben:

$A=\left(\begin{array}{cccc} & & & \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & -4 & 1 \\ -2 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -3\end{array}\right)$

Comments

Weisst du wofür die Abkürzung LR steht? Wenn ja findest du vermutlich über die Suche schon eine ähnliche beantwortete Frage.

Wenn nicht: beginne vielleicht hier https://en.wikipedia.org/wiki/Pivot_element

Fortsetzung dort über die Links zu andern Sprachen möglich.

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hallo mich würde das auch interessieren ich weiß wofür lr steht und es funktioniert dank der 0 ja anscheinend nicht ohne pivoisierung :(

heißt das jetzt einfach dass ich die 3. und 1. zeile vertausch und dann geht es?

Answer 1

Pab Tauschmatrix Zeile/Spalte a,b

An = Pivotelement a_nn betragsgrößtes Element

A: (a₂₃ Pivot ==> a11)
A1:=P12 A P13

$\small L1 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\\frac{1}{4}&1&0&0\\-\frac{1}{2}&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)$ Erste Spalte nullen

A2: L1 A1 (a₄₄ Pivot ==> a₂₂)

A2:=P24 L1 P12 A P13 P24

$\small A2 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}-4&1&-1&0\\0&-3&0&-2\\0&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}&1\\0&-\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}&-2\\\end{array}\right)$

$\small L2 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\frac{1}{-6}&1&0\\0&-\frac{7}{12}&0&1\\\end{array}\right)$  2.Spalte nullen

A3: L2 A2 (a₃₃ Pivot)

A3:=L2 P24 L1 P12 A P13 P24

$\small A3 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}-4&1&-1&0\\0&-3&0&-2\\0&0&-\frac{3}{2}&\frac{4}{3}\\0&0&-\frac{1}{4}&-\frac{5}{6}\\\end{array}\right)$

$\small L3 \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&\frac{1}{-6}&1\\\end{array}\right)$ 3.Spalte nullen

R:=L3 L2 P24 L1 P12 A P13 P24

$\small R \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}-4&1&-1&0\\0&-3&0&-2\\0&0&-\frac{3}{2}&\frac{4}{3}\\0&0&0&-\frac{19}{18}\\\end{array}\right)$

Abgleich Zeilen/Spaltentausch

R=(L3 L2 P24 L1 P24) P24 P12 A P13 P24

L:=(L3 L2 P24 L1 P24)^-1

$\small L \, := \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{6}&1&0\\-\frac{1}{4}&\frac{7}{12}&\frac{1}{6}&1\\\end{array}\right)$

L R = (P24 P12 A P13 P24)