Wie lässt sich diese Matrix als Produkt von Elementarmatrizen darstellen?

Question

Aufgabe:

Ich versuche derzeit die Matrix

\( A:= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \)

als Produkt von Elementarmatrizen darzustellen.

Problem/Ansatz:

Ich scheitere leider immer dabei, die dritte Spalte und die -\( \frac{1}{2} \) Einträge zu formen.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Von Links oder von Rechts multiplizieren oder egal von jedem etwas?

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ist egal von welcher Seite. Das wichtige ist, das es ein Produkt von ausschließlich Elementarmatrizen ist :)

Answer 1

Ok, dann fangen wir an (wird aber was längeres;-)

1: Tausche Zeile 1 und Zeile4

2: Zeile2+Zeile1

Jetzt die 1 von Zeile2 ==> Zeile3===>Zeile4

Eintrag 1.Spalte Multiplikation mit 1. Zeile und addiere zu Zeile in Diag

Eintrag 2.Spalte Multiplikation mit 2. Zeile ....

das machst Du usw. bis die Einheitsmatrix entstanden ist.

Dann mit den Inversen der Elementarmatrizen von Links mult bis alle auf der anderen Seite sind - fertisch

Comments

Ich hab mal an einer platzsparenden Darstellungsvariante rum probiert

E(z,s,m) addiert m in Zeile z, Spalte s einer Einheitsmatrix

\( \scriptsize E(4,2,1) = \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&1\\\end{array}\right) \)

T(z,s) tauscht z,s einer Einheitsmatix

\( \scriptsize T(1,3)=\left(\begin{array}{rrrr}0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \)

Dann haben wir nach

E(4,2,1) E(3,2,1) E(1,4,1) T(2,4) E(1,1,1)  E(4,1,1) E(3,1,-1) E(2,1,-1)  T(1,3)  A = E

die Einheitesmatrix und invertieren

A = T(1,3)  E(2,1,1)  E(3,1,1)  E(4,1,1)  E(1,1,-1/2)  T(2,4)  E(1,4,-1)  E(3,2,-1)  E(4,2,-1)