Matrix Ker(M) und Im(M) Gesucht

Question

Gesucht ist Ker(M) und Im(M)

Das habe ich mithilfe der Lösung verstanden, jedoch gibt es da einen schritt den ich nicht verstehe.

M = \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 5 \end{pmatrix} \)

(1) Nach Gauß sieht M so aus

M = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

(2) Umformen

Hier ist auch meine Frage. Mein Professor hat nach Schritt (1) bereits gemerkt das x3=t gesetzt werden muss. Aber woher kommt dieser Gedanke? Ist es, weil wir eine Nullzeile haben?

Answer 1

Es kommt nicht von der Nullzeile, sondern weil die Stufe nicht nur aus einem Koeffizienten besteht.

Beispiel:

\( \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix} \) hat eine Nullzeile, trotzdem werden keine Parameter verwendet.

\( \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&1 \end{pmatrix} \) hat keine Nullzeile, trotzdem wird ein Parameter verwendet.