cos(arctan(t)) = 1/sqrt(t^2 + 1)?

Question

Aufgabe:

$$cos(arctan(t)) = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}} ??$$

Problem/Ansatz:

Gesucht ist ein nachvollziehbarer Rechenweg ohne Taschenrechner und ohne WolframAlpha etc.

Hoffe das mir jemand dabei helfen kann.

Answer 1

Für Hauptwerte gilt$$\tan^2x=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\frac1{\cos^2x}-1.$$Es folgt$$\cos x=\frac1{\sqrt{1+\tan^2x}}.$$Setze nun \(t=\tan x\).