Mithilfe eines Winkels und einer Strecke eine Entfernung ausrechnen

Question

Aufgabe:

Ein Satellit auf einer Umlaufbahn in 100km Höhe wird unter einem Zenitwinkel von 50° beobachtet. Wie gross ist zu diesem Zeitpunkt die Entfernung vom Beobachter zum Satelliten? (Erdradius:6370km)

Problem/Ansatz:

Wie rechnet man das aus?

Answer 1

(Antwort korrigiert; der Zenitwinkel war falsch)

Wie rechnet man das aus?

Eine Skizze ist der Anfang von allem ...

 

Die blauen Strecken sind der Erdradius $R$. Die rote ist die Höhe $h$ des Satelliten über der Erdoberfläche. Der gelbe Winkel ist der Zenitwinkel unter dem der Satellit dem Beobachter bei $B$ erscheint. Und die grüne Strecke $x$ ist gesucht.

Die vier Streckenstücke bilden ein Dreieck mit einem bekannten Winkel. Da eignet sich der Cosinussatz:$$\begin{aligned}(R+h)^2&= R^2 + x^2 - 2Rx\cos(180°-50°) \\ \implies 0&= x^2 - 2 \cdot 6370 \text{km} \cdot \cos(130°) - (2 \cdot 6370 \text{km} \cdot 100 \text{km} + 100^2 \text{km}^2) \\ \implies x_{1,2}&\approx -4094 \text{km} \pm 4248 \text{km} \end{aligned}$$Das negative Ergebnis gibt keinen Sinn. Es bleibt: $$x \approx 154 \text{km}$$Gruß Werner

Comments

Der gelbe Winkel ist der Zenitwinkel

Nein.

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Der gelbe Winkel ist der Zenitwinkel - Nein.

.. das werde ich wohl nie lernen :-/ ... es liegt wohl an meiner Affinität zu horiziontalen Bezugslinien!

Ich habe meine Antwort korrigiert