Mathe-Artikel #016: Was ist eine Matrix?

Question

1. Einführung

"Rote oder blaue Pille?" Wenn man diese Frage hört, denkt man automatisch an den Film Matrix. In der Mathematik versteht man unter einer Matrix nicht eine von den Maschinen entworfene virtuelle Simulation, in der die Menschheit gefangen ist, sondern lediglich eine rechteckige Anordnung von Elementen (zumeist Zahlen). Die einzelnen Elemente lassen sich dann in bestimmter Weise miteinander verrechnen. Für Matrizen (das ist übrigens der Plural von "Matrix") lassen sich außerdem viele Eigenschaften definieren und die Gesamtheit aller Matrizen somit klassifizieren.

2. Aufbau einer Matrix

Wie ist eine Matrix aufgebaut? Nun, in der Definition wurde eine rechteckige Anordnung erwähnt und so ist es sicherlich nicht verwunderlich, dass eine Matrix so aussieht: $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{matrix}\right]$$

Oft findet man an Stelle der eckigen Klammern [] die runden Klammern () zum Abgrenzen der Matrizenelemente. Wie du erkennst, setzt sich die Matrix aus einer bestimmten Anzahl an Zeilen und Spalten zusammen. Die Zeilen bezeichnet man üblicherweise mit dem Buchstaben m und für die Spalten verwendet man den Buchstaben n. Um zu kommunizieren, dass eine Matrix aus m Zeilen und n Spalten besteht, kann man auch verkürzt $(m\times n)-$Matrix sagen. Die gezeigte Matrix ist also eine $(2\times 4)-$Matrix, da sie aus $m=2$ Zeilen und $n=4$ Spalten besteht. Diese Matrix hingegen $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right]$$ ist eine $(3\times 3)-$Matrix, da sie aus $m=3$ Zeilen und $n=3$ Spalten besteht. Einfach, oder?

3. Elemente einer Matrix

Wenn du jetzt statt der konkreten Zahlenelemente noch allgemein Buchstaben verwendest, hast du einen abstrakten Plan zum Bau einer Matrix: $$\left[\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\end{matrix}\right]$$ Die einzelnen Elmente haben zwei Indizes, nämlich einen für die Zeile und einen für die Spalte. Anders als in der Informatik, fängt man hier nicht bei $0$ zu zählen an, d. h. das Element in der zweiten Zeile und der dritten Spalte wird durch $a_{2,3}$ dargestellt. Allgemein lässt sich ein Index also durch $a_{i,j}$ darstellen, wobei $i$ die Zeile und $j$ die Spalte angibt. Demnach ist $i$ größer als oder gleich $1$ und kleiner als oder gleich der Anzahl an Zeilen (also $m$): $$1\leq i \leq m$$ $j$ ist ebenfalls größer als oder gleich $1$, jedoch kleiner als oder gleich der Anzahl an Spalten (also $n$): $$1\leq j \leq n$$ Wenn du für $i$ z. B. einen Wert größer als $m$ wählst, greifst du auf eine Zeile zu, die es überhaupt nicht in deiner Matrix gibt, was zu einem Fehler führt. In dieser Matrix $$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right]$$ ist mit dem Element $a_{3,1}$ die $7$ gemeint, da sich dieses in der dritten Zeile und der ersten Spalte befindet. Der Zugriff auf das Element $a_{4,1}$ wäre z. B. ein Fehler, da die Matrix nur $3$ Zeilen hat. Analog würde $a_{2,5}$ einen Fehler bedeuten, da die Matrix zwar $2$ Zeilen, aber nur $3$ und nicht $5$ Spalten hat.

4. Benennung von Matrizen

Matrizen benennt man übrigens üblicherweise mit einem Großbuchstaben, z. B. $A$: $$A= \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right]$$ Für die allgemeine Form der Elemente innerhalb der Matrix nutzt man dann passenderweise den zu dem Großbuchstaben korrespondierenden Kleinbuchstaben. Würde die Matrix also $B$ heißen $$B= \left[\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{matrix}\right]$$ könnte man als allgemeine Darstellung also diese hier wählen: $$B=\left[\begin{matrix}b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} \\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\end{matrix}\right]$$

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Comments

Toller Artikel. Danke für deine videos (ps, komme von Daniel Jung ;-))

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Gerne. Schön, dass dir das Video weitergeholfen hat.