Ganzrationale Funktionen Nullstellen berechnen

Question

Aufgabe:

5x⁵ - 40x³ - 45x

Problem/Ansatz:

Ich soll bei dieser Aufgabe die Nullstellen berechnen. Mein Problem ist allesdings das mein Mathelehrer mich und meine Klasse blind an die Aufgaben gesetzt hat und ich keine Ahnung habe wie ich die berechnen soll. Mein Vater ist auch schon dran verzweifelt.

Lösung + Erklärung wäre hilfreich...

Euer Schwachkopp :)

Answer 1

1.) x ausklammern

x(5 x⁴ -40 x² -45)=0

-->x1=0 ->Satz vom Nullprodukt

2) 5 x⁴ -40 x² -45=0

Substituiere z=x²

5z² -40z -45=  0 -------->pq.Fornel

resubstituieren

Lösungen : -3 , 0 3 , es gibt noch 2 komplexe Lösungen, falls diese interessieren -i und i)

Comments

Alles klar. Okay, Aber hier sind jetzt noch ein paar Aufgabe wo ich hilfe gebrauchen könnte...

f(x) = -x⁴ + 49x²

Und

f(x) = 4x³ + 1,6x² + 6,4x

---

Bei beiden kannst du ausklammern.

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Ja, dem war ich schon bewusst... Aber wie muss ich ausklammern? Bei 4x³ ist das ja noch halbwegs verständlich aber bei -x⁴ fahr ich quasi vor die Wand...

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-x⁴ + 49x² = 0

x²(-x² + 49) = 0

x1 = 0

-x² + 49 = 0

x² = 49

x2 = 7

x3 = - 7

Answer 2

$\begin{aligned} & & 5x^{5}-40x^{3}-45x & =0 & & 5x\text{ ausklammern}\\ & & 5x\left(x^{4}-8x^{2}-9\right) & =0 & & \text{Potenzgesetze}\\ & & 5x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}-9\right) & =0 & & \text{quadratische Ergänzung}\\ & & 5x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}+\left(\frac{8}{2}\right)^{2}-\left(\frac{8}{2}\right)^{2}-9\right) & =0\\ & & 5x\left(\left(x^{2}\right)^{2}-8x^{2}+4^{2}-16-9\right) & =0 & & \text{binomische formel}\\ & & 5x\left(\left(x^{2}-4\right)^{2}-16-9\right) & =0\\ & & 5x\left(\left(x^{2}-4\right)^{2}-25\right) & =0 & & \text{Satz vom Nullprodukt}\\ & & 5x=0\,\vee\,\left(x^{2}-4\right)^{2}-25 & =0 & & |\,+25\\ & & 5x=0\,\vee\,\left(x^{2}-4\right)^{2} & =25 & & |\,\sqrt{\phantom{0}}\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2}-4 & =\pm5 & & |\,+4\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2} & =\pm5+4\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2}=-1\,\vee\,x^{2} & =9 & & |\,x^{2}=-1\text{ hat keine reelle Lösung}\\ & & 5x=0\,\vee\,x^{2} & =9 & & |\,\sqrt{\phantom{0}}\\ & & 5x=0\,\vee\,x & =\pm3\\ & & x=0\,\vee\,x=3\,\vee\,x & =-3\end{aligned}$

Answer 3

5x⁵ - 40x³ - 45x  = 5x(x⁴-8x²-9)  = 0

Satz von Vieta liefert:

5x(x²-9)(x²+1)=0

5x(x+3)(x-3)(x²+1)= 0

Satz vom Nullprodukt liefert:

x1=0

x2=-3

x3= 3