Aufgabe:
Sei X = (X1,...,Xn) mit unabhängigen Zufallsvariablen X1,...,Xn mit derselben Verteilung
$$P_{\theta}(X_i = k) = \binom{k + r - 1}{k} \cdot \theta^r \cdot (1 - \theta)^k~,$$
mit k ∈ ℕ0, r ∈ ℕ ist konstant and θ ∈ (0, 1] ist unbekannt.
Frage: Zeige, dass für jedes θ ∈ (0, 1] und ε > 0 gilt:
$$\lim_{n\to \infty} P_\theta \bigl(\, |\hat{\theta}_{MLE}(X_1,\ldots,X_n) - \theta| > \epsilon \,\bigr) = 0$$
Was ich gemacht habe:
Ich habe selbst gefunden, dass MLE-Schätzer von θ ist: (die Zeichung "MLE" wird weglassen)
$$\hat \theta = \frac {nr} {nr + \sum_{i=1}^n X_i}$$
und i glaube, dass
$$\text{$P_\theta$(|$\hat{\theta}$($X_1$,...,$X_n$) - $\theta$| > $\epsilon$) = $P_\theta$($\hat{\theta}$($X_1$,...,$X_n$) > $\theta$ + $\epsilon$) + $P_\theta$($\hat{\theta}$($X_1$,...,$X_n$) < $\theta$ - $\epsilon$),}$$
gilt, aber dann habe ich keine Ahnung, wie es weiter geht.
Hat jemand vielleicht eine Idee? (nur Hinweise, am besten nicht die ganze Lösung) Danke euch allen im Voraus.
