Beträge - Für welche reellen Zahlen x gilt |(x+2)/(x+1)| ≤ 2?

Question

Für welche reellen Zahlen x gilt:

|(x+2)/(x+1)| ≤ 2

Ich komme auf die Lösung L= [-2,0]. Lieg ich richtig?

Answer 1

Bei deiner Rechnung stimmt etwas nicht. Beachte aber auch, dass du Klammern um Zähler und Nenner setzen musst, sonst liest man etwas ganz Anderes.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7C%28x%2B2%29%2F%28x%2B1%29%7C+≤+2

In beinahe dem ganzen von dir angegebenen Bereich gilt. |(x+2)/(x+1)| ≥ 2

Du müsstest aber für deine Ungleichung L = (-∞, -1.ab] u [0, ∞) angeben.

Die Ziffern ab sind noch zu berechnen.

Comments

|(x+2)/(x+1)| ≤ 2

|(x+2)|/|(x+1)| ≤ 2

|x+2| ≤ 2 |x+1|

Falls x > -1

x + 2 ≤ 2x + 2        |-2 , - x

0 ≤ x        
 [0, ∞)

Falls -2≤x<-1

x+2 ≤ 2*(-(x+1))

x+2 ≤ -2x - 2

3x ≤ - 4

x≤ - 4/3 = -1.333333333.    
 [-2, -1.3333333]

Falls x<-2

-(x+2) ≤ 2*(-(x+1))

-x- 2 ≤ -2x - 2

x ≤ 0
(-∞, -2)

L =  (-∞, -2] u [-2, -1.3333333] u  [0, ∞)

L =  (-∞,  -1.3333333] u  [0, ∞)

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Ist  |(x+2)/(x+1)| ≤ 2  das selbe wie |(x+2)| / |(x+1)| ??

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dein 2. Fall ist mir klar, aber ich verstehe nicht, wie du bei Fall 1 und 3 auf die + und - ∞ kommst?

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Falls x > -1, heisst ich setze voraus -1 <x <∞

x + 2 ≤ 2x + 2        |-2 , - x

0 ≤ x         schränkt die Voraussetzung ein auf das Intervall, das ich oben angegeben hatte.

3. Fall analog.

Zu deiner ersten Frage:

https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value#Definition_and_properties

Hier ein paar Eigenschaften des Betrags.

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muss es nicht heißen (-∞,-2) ?

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Stimmt. Eigentlich schon. Beachte, dass der Fall x=-2 aber auch in diesen Bereich fällt. Das ist ja keine Definitionslücke.